放物線 \(y=x^2\) 上に2点 P , Q がある. 線分 PQ の中点の \(y\) 座標を \(h\) とする.
(1) 線分 PQ の長さ \(L\) と傾き \(m\) で, \(h\) で表せ.
(2) \(L\) を固定したとき, \(h\) がとりうる値の最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
P , Q の \(x\) 座標を \(p , q\) とおくと \[\begin{align} m & = \dfrac{p^2-q^2}{p-q} = p+q , \\ L & = \sqrt{(p-q)^2 +(p^2-q^2)^2} \\ & = \sqrt{(p-q)^2 \left\{ (p+q)^2+1 \right\}} \\ & = \sqrt{\left\{ m^2 -4pq \right\} (m^2+1)} \\ \text{∴} \quad & pq =\dfrac{1}{4} \left( m^2 -\dfrac{L^2}{m^2+1} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} h & = \dfrac{p^2+q^2}{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \left\{ m^2 -\dfrac{1}{2} \left( m^2 -\dfrac{L^2}{m^2+1} \right) \right\} \\ & = \underline{\dfrac{1}{4} \left( m^2 +\dfrac{L^2}{m^2+1} \right)} \end{align}\]
(2)
\(t =m^2+1\) とおくと, \(t \geqq 1\) . \[ h =\dfrac{1}{4} \left(t+\dfrac{L^2}{t} -1 \right) \] \(f(t) =h\) とおくと
1* \(L \geqq 1\) のとき
相加相乗平均の関係より \[\begin{align} f(t) & = \dfrac{1}{4} \left( 2 \sqrt{t \cdot \dfrac{L^2}{t}} -1 \right) \\ & = \dfrac{2L-1}{4} \end{align}\] 等号成立は, \(t =\dfrac{L^2}{t}\) すなわち \(t =L\) のとき2* \(0 \lt L \lt 1\) のとき \[ f'(t) =\dfrac{1}{4} \left( 1 -\dfrac{L^2}{t^2} \right) \geqq 0 \] したがって, \(f(t)\) は単調増加し \[ f(t) \geqq f(1) =\dfrac{L^2}{4} \] 以上より, 求める最小値は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{L^2}{4} & \ \left( \ 0 \lt L \lt 1 \text{のとき} \right) \\ \dfrac{2L-1}{4} & \ \left( \ L \geqq 1 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]