曲線 \(C : \ y = \log x\) 上の点 P \(( a, \log a )\) , 点 Q \(( b, \log b )\) （ \(1 \lt a \lt b\) ）をとる. 点 P , Q から \(x\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(x\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とする. 点 P , Q から \(y\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(y\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(T\) とする. このとき, \(S = T\) となるように \(b\) がとれる \(a\) の値を求めよ.

【 解 答 】

\[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ a^b \log x \, dx =\left[ x \log x \right] _ a^b -\displaystyle\int _ a^b x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & = b \log b -a \log a -\left[ x \right] _ a^b \\ & = b \log b -a \log a -(b-a) \\ T & = \displaystyle\int _ {\log a}^{\log b} e^y \, dy = \left[ e^y \right] _ {\log a}^{\log b} = b-a \end{align}\] \(S = T\) なので \[\begin{align} b \log b -a \log a -(b-a) & =b-a \\ \text{∴} \quad a \log a -2a & = b \log b -2b \quad ... [1] \end{align}\] したがって, [1] をみたす \(b\) が存在する条件を考えればよい.
すなわち, \(f(x) = x \log x -2x \ ( x \gt 1 )\) とおいたときに, \(f(x) = k\) が \(2\) つの異なる解 \(a , b \ ( a \lt b )\) を持つときの \(a\) のとりうる値の範囲を考えればよい. \[ f'(x) = \log x +x \cdot \dfrac{1}{x} -2 = \log x -1 \] \(f'(x) = 0\) を解くと, \(x = e\) .
したがって, \(f(x)\) の増減表は下の通りとなり \[ \begin{array}{c|cccc} x & (1) & \cdots & e & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array} \] \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.

ここから, 求める \(a\) の値の範囲は \[ \underline{1 \lt a \lt e} \]