次の問に答えよ.
(1) \(3x+2y \leqq 2008\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y)\) の個数を求めよ.
(2) \(\dfrac{x}{2} +\dfrac{y}{3} +\dfrac{z}{6} \leqq 10\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y,z)\) の個数を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ 0 \leqq x \leqq 669 , \ 0 \leqq y \leqq 1004 \]
1* \(x = 2k \ ( 0 \leqq k \leqq 334 )\) のとき \[\begin{align} 0 & \leqq 2y \leqq 2008 -6k \\ \text{∴} \quad 0 & \leqq y \leqq 1004 -3k \end{align}\] このとき \((x,y)\) の組は, \(1005 -3k\) 通り.
2* \(x = 2k+1 \ ( 0 \leqq k \leqq 334 )\) のとき \[\begin{align} 0 & \leqq 2y \leqq 2005 -6k \\ \text{∴} \quad 0 & \leqq y \leqq 1002 -3k \end{align}\] このとき \((x,y)\) の組は, \(1003 -3k\) 通り.
以上より, 求める個数は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{334} & \left\{ (1005-3k) +(1003-3k) \right\} \\ & = 2008 \cdot 335 -6 \cdot \dfrac{334 \cdot 335}{2} \\ & = 335 (2008-1002) \\ & = \underline{337010} \end{align}\]
(2)
与式を変形すると \[ 3x +2y +z \leqq 60 \] このとき \[ 0 \leqq x \leqq 20 , \ 0 \leqq y \leqq 30 , \ 0 \leqq z \leqq 60 \]
1* \(x = 2m \ ( 0 \leqq m \leqq 10 )\) のとき \[ 0 \leqq 2y+z \leqq 60 -6m \] このとき, \(0 \leqq y \leqq 30-3m\) . \(y = \ell \ ( 0 \leqq \ell \leqq 30-3m )\) のとき \[ 0 \leqq z \leqq 60- 6m -2 \ell \] このとき \((x,y,z)\) の組は, \(61 -6m -2 \ell\) 通り.
2* \(x = 2m+1 \ ( 0 \leqq m \leqq 9 )\) のとき \[ 0 \leqq 2y+z \leqq 57 -6m \] このとき, \(0 \leqq y \leqq 28-3m\) . \(y = \ell \ ( 0 \leqq \ell \leqq 28-3m )\) のとき \[ 0 \leqq z \leqq 57- 6m -2 \ell \] このとき \((x,y,z)\) の組は, \(58 -6m -2 \ell\) 通り.
以上より, 求める個数は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {m=0}^{10} & \textstyle\sum\limits _ {\ell =0}^{30 -3m} ( 61-6m-2\ell ) +\textstyle\sum\limits _ {m=0}^{9} \textstyle\sum\limits _ {\ell =0}^{28 -3m} ( 58-6m-2\ell ) \\ & = \displaystyle\sum _ {m=0}^{10} \left\{ ( 31-3m )( 61-6m ) -( 30-3m )( 31-3m ) \right\} \\ & \qquad +\displaystyle\sum _ {m=0}^{9} \left\{ ( 29-3m )( 58-6m ) -( 28-3m )( 29-3m ) \right\} \\ & = \displaystyle\sum _ {m=0}^{10} ( 31-3m )^2 +\displaystyle\sum _ {m=0}^{9} ( 30-3m )( 29-3m ) \\ & = \displaystyle\sum _ {m=0}^{10} \left\{ ( 3m+1 )^2 +3m ( 3m-1 ) \right\} \\ & = \displaystyle\sum _ {m=0}^{10} ( 18m^2 +3m +1 ) \\ & = 18 \cdot \dfrac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} +3 \cdot \dfrac{10 \cdot 11}{2} +11 \\ & = 6930 +165 +11 \\ & =\underline{7106} \end{align}\]