二つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を次の漸化式によって定める. \[\begin{align} a _ 1 & =3 , \ b _ 1 =1 \\ a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( 3a _ n +5b _ n \right) \\ b _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( a _ n +3b _ n \right) \end{align}\]
(1) すべての自然数 \(n\) について, \({a _ n}^2 -5{b _ n}^2 = 4\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は自然数かつ \(a _ n+b _ n\) は偶数であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき \[ {a _ 1}^2 -5{b _ 1}^2 =9-5 = 4 \] なので, \(n=1\) のとき成立する.
2* \(n = k\) のとき, 成立すると仮定すると \[\begin{align} {a _ {k+1}}^2 & -5{b _ {k+1}}^2 \\ & =\dfrac{1}{4} \left( 9{a _ k}^2 +30 a _ k b _ k +25{b _ k}^2 -5{a _ k}^2 -30 a _ k b _ k -45{b _ k}^2\right) \\ & ={a _ k}^2 -5{b _ k}^2 = 4 \end{align}\] したがって, \(n=k+1\) のときも成立する.
以上より, 題意は示された.
(2)
数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき, 条件より成立する.
2* \(n = k\) のとき, 成立すると仮定すると
\(a _ k\) と \(b _ k\) の奇遇は一致している.
\(3a _ k\) と \(5b _ k\) , \(a _ k\) と \(3b _ k\) の奇遇は一致するので, \(3a _ k +5b _ k\) , \(a _ k +3b _ k\) はともに偶数である.
したがって, \(a _ {k+1} , b _ {k+1}\) はともに自然数である.
また \[ a _ {k+1} +b _ {k+1} = 2 \left( a _ k +2b _ k \right) \] なので, \(a _ {k+1} +b _ {k+1}\) は偶数である.
ゆえに, \(n=k+1\) のときも成立する.
以上より, 題意は示された.