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\(e\) は自然対数の底とする. \(t \gt e\) において関数 \(f(t) , g(t)\) を次のように定める. \[ f(t) = \displaystyle\int _ 1^e \dfrac{t^2 \log x}{t-x} \, dx , \ g(t) =\displaystyle\int _ 1^e \dfrac{x^2 \log x}{t-x} \, dx \]

1. (1)　\(f(t) -g(t)\) を \(t\) の \(1\) 次式で表せ.

2. (2)　\(1 \leqq x \leqq e\) かつ \(t \gt e\) のとき, \(\dfrac{1}{t-x} \leqq \dfrac{1}{t-e}\) が成り立つことを用いて, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} g(t) = 0\) を示せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( f(t) -\dfrac{bt^2}{t-a} \right) =0\) となる定数 \(a , b\) を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\[ \dfrac{t^2 \log x}{t-x} -\dfrac{x^2 \log x}{t-x} = (t+x) \log x \] また, \(F(x)= \displaystyle\int (t+x) \log x \, dx\) とおくと \[\begin{align} F(x) & = \dfrac{1}{2} (t+x)^2 \log x -\dfrac{1}{2} \displaystyle\int \left( \dfrac{t^2}{x} +2t +x \right) \, dx \\ & = \dfrac{1}{2} \left\{ (t+x)^2 \log x -t^2 \log x -2tx -\dfrac{x^2}{2} \right\} \\ & = \dfrac{tx}{2} \left( \log x -1 \right) +\dfrac{x^2}{4} \left( 2 \log x -1 \right) \quad ( \ C \text{は積分定数} ) \end{align}\] よって \[\begin{align} f(t) -g(t) & = F(e) -F(1) \\ & = \dfrac{e^2}{4} -\left( -\dfrac{t}{2} -\dfrac{1}{4} \right) \\ & = \underline{\dfrac{t}{2}+\dfrac{e^2+1}{4}} \end{align}\]

(2)

\(x^2 \log x\) は, \(1 \leqq x \leqq e\) において単調増加なので, この区間において \[ 0 \leqq \dfrac{x^2 \log x}{t-x} \leqq \dfrac{e^2}{t-e} \] 辺々を \(x\) について \(1 \rightarrow e\) の範囲で積分すると \[\begin{align} 0 & \leqq \displaystyle\int _ 1^e \dfrac{x^2 \log x}{t-x} \, dx \leqq \displaystyle\int _ 1^e \dfrac{e^2}{t-e} \, dx \\ \text{∴} \quad 0 & \leqq g(t) \leqq \dfrac{e^2 (e-1)}{t-e} \end{align}\] \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{e^2 (e-1)}{t-e} =0\) なので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} g(x) = 0 \]

(3)

(1) (2) の結果を用いれば \[\begin{gather} \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( f(t) -\dfrac{bt^2}{t-a} \right) = \dfrac{e^2+1}{4} -\dfrac{(b-1)t^2 +at}{t-a} = 0 \\ \text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left\{ \dfrac{(b-1)t^2}{t-a} +\dfrac{a}{1-\frac{a}{t}} \right\} = \dfrac{e^2+1}{4} \end{gather}\] これが成立するための条件は \[ b-1 = 0 , \ a = \dfrac{e^2+1}{4} \] よって \[ a = \underline{\dfrac{e^2+1}{4}} , \ b =\underline{1} \]