\(a\) を正の定数とし, \(xy\) 平面上の曲線 \(C\) の方程式を \(y = x^3 -a^2x\) とする.
(1) \(C\) 上の点 A \(( t, t^3 -a^2t )\) における \(C\) の接線を \(\ell\) とする. \(\ell\) と \(C\) で囲まれた図形の面積 \(S(t)\) を求めよ. ただし, \(t\) は \(0\) でないとする.
(2) \(b\) を実数とする. \(C\) の接線のうち \(xy\) 平面上の点 B \(( 2a , b )\) を通るものの本数を求めよ.
(3) \(C\) の接線のうち点 B \(( 2a , b )\) を通るものが \(2\) 本のもの場合を考え, それらの接線を \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) とする. ただし, \(\ell _ 1\) と \(\ell _ 2\) はどちらも原点 \((0,0)\) は通らないとする. \(\ell _ 1\) と \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S _ 1\) とし, \(\ell _ 2\) と \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S _ 2\) とする. \(S _ 1 \geqq S _ 2\) として, \(\dfrac{S _ 1}{S _ 2}\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x) = x^3-a^2x\) とおくと
\[
f(-x) = -x^3+a^2x = -f(x)
\]
なので, 曲線 \(C\) は原点について対称である.
したがって, \(t \gt 0\) の場合について考えればよい.
\(f'(x) = 3x^2-a^2\) なので , \(\ell\) の方程式は
\[\begin{align}
y & = (3t^2-a^2)(x-t) +t^3-a^2t \\
& = (3t^2-a^2)x -2t^3
\end{align}\]
これと \(C\) の方程式より, \(y\) を消去して
\[\begin{align}
x^3-a^2x & = (3t^2-a^2)x -2t^3 \\
(x-t)^2 (x+2t) & = 0 \\
\text{∴} \quad x & = t , -2t
\end{align}\]
よって
\[\begin{align}
S(t) & = \displaystyle\int _ {-2t}^t \left[ x^3-a^2x -\left\{ (3t^2-a^2)x -2t^3 \right\} \right] \, dx \\
& = \displaystyle\int _ {-2t}^t (x-t)^2(x+2t) \, dx \\
& = \displaystyle\int _ {-2t}^t \left\{ (x-t)^3 +3t(x-t)^2 \right\} \, dx \\
& = \left[ \dfrac{(x-t)^4}{4} +t(x-t)^3 \right] _ {-2t}^t \\
& = -\dfrac{81 t^4}{4} +27 t^4 =\underline{\dfrac{27t^4}{4}}
\end{align}\]
(2)
\(\ell\) が \((2a,b)\) を通るので \[\begin{align} b & = 2a(3t^2-a^2) -2t^3 \\ \text{∴} \quad b & = -2t^3 +6at^2 -2a^3 \quad ... [1] \end{align}\] 右辺を \(g(t)\) とおいて, 直線 \(y=b\) と曲線 \(y=g(t)\) の共有点の個数を考えればよい. \[ g'(t) =-6t^2 +12at =-6t (t-2a) \] なので \(g(t)\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & 0 & \cdots & 2a & \cdots \\ \hline g'(t) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(t) & \searrow & -2a^3 & \nearrow & 6a^3 & \searrow \end{array} \] よって, 求める本数は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( \ b \lt -2a^3 , 6a^3 \lt b \text{のとき} \right) \\ 2 & \left( \ b = -2a^3 , 6a^3 \text{のとき} \right) \\ 3 & \left( \ -2a^3 \lt b \lt 6a^3 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]
(3)
1* \(b = -2a^3\) のとき
[1] より \[\begin{align} -2a^3 & = -2t^3 +6at^2 -2a^3 \\ t^2 (t-3a) & = 0 \\ \text{∴} \quad t & = 0 , 3a \end{align}\] なので, 接線の \(1\) つが原点を通るので, 不適.2* \(b = 6a^3\) のとき
[1] より \[\begin{align} 6a^3 = -2t^3 +6at^2 & -2a^3 \\ t^3 -3at^2 +4a^3 & = 0 \\ (t-2a)^2 (t+a) & = 0 \\ \text{∴} \quad t = -a , 2a & \end{align}\]
よって, (1) の結果を用いれば \[ \dfrac{S _ 1}{S _ 2} = \dfrac{\dfrac{27}{4} (2a)^4}{\dfrac{27}{4} (-a)^4} = \underline{16} \]