\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(1\) から \(n\) までの整数が \(1\) つずつ書かれている \(n\) 枚のカードがある. ただし, 異なるカードには異なる整数が書かれているものとする. この \(n\) 枚のカードから, \(1\) 枚のカードを無作為に取り出して, 書かれた整数を調べてからもとに戻す. この試行を \(3\) 回繰り返し, 取り出したカードに書かれた整数の最小値を \(X\) , 最大値を \(Y\) とする. 次の問に答えよ. ただし, \(j\) と \(k\) は正の整数で \(j+k \leqq n\) を満たすとする. また, \(s\) は \(n-1\) 以下の正の整数とする.
(1) \(X \geqq j\) かつ \(Y \leqq j+k\) となる確率を求めよ.
(2) \(X = j\) かつ \(Y = j+k\) となる確率を求めよ.
(3) \(Y-X = s\) となる確率を \(P(s)\) とする. \(P(s)\) を求めよ.
(4) \(n\) が偶数のとき, \(P(s)\) を最大にする \(s\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(3\) 回とも, \(j\) 以上 \(j+k\) 以下の \(k+1\) 枚となればよいので, 求める確率は \[ \underline{\dfrac{(k+1)^3}{n^3}} \]
(2)
\(3\) 回の組合せが, 以下の \(3\) つのいずれかになればよい.
\(j\) が \(2\) 回, \(j+k\) が \(1\) 回
\(j\) が \(1\) 回, \(j+k\) が \(2\) 回
\(j , \ j+m , \ j+k \ ( 1 \leqq m \leqq k-1 )\) が \(1\) 回ずつ
よって, 求める確率は \[ \dfrac{3 +3 +(k-1) \cdot 3 !}{n^3} = \underline{\dfrac{6k}{n^3}} \]
(3)
\(Y-X = s\) に対して, \(X\) の選び方は, \(1 , \cdots , n-s\) の \(n-s\) 通りあるので, (2) の結果を用いて \[ P(s) = (n-s) \cdot \dfrac{6s}{n^3} = \underline{\dfrac{6s (n-s)}{n^3}} \]
(4)
\[ P(s) =\dfrac{6}{n^3} \left\{ -\left( s -\dfrac{n}{2} \right)^2 +\dfrac{n^2}{4} \right\} \] \(n\) は偶数なので, \(P(s)\) が最大とするのは \[ s = \underline{\dfrac{n}{2}} \]