\(m , p\) を \(3\) 以上の奇数とし, \(m\) は \(p\) で割り切れないとする.
(1) \((x-1)^{101}\) の展開式における \(x^2\) の項の係数を求めよ.
(2) \((p-1)^m +1\) は \(p\) で割り切れることを示せ.
(3) \((p-1)^m +1\) は \(p^2\) で割り切れないことを示せ.
(4) \(r\) を正の整数とし, \(s = 3^{r-1}m\) とする. \(2^s +1\) は \(3^r\) で割り切れることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(x^2\) の項は \[ {} _ {101} \text{C} {} _ 2 x^2 (-1)^{99} = -5050x^2 \] よって, 係数は \[ \underline{-5050} \]
(2)
\[\begin{align} (p-1)^m+1 & = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^m {} _ {m} \text{C} {} _ {k} (-1)^{m-k} p^k +1 \\ & = (-1)^m +\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} {} _ {m} \text{C} {} _ {k} (-1)^{m-k} p^k +1 \\ & = -1 +\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} {} _ {m} \text{C} {} _ {k} (-1)^{m-k} p^k +1 \quad ( \ \text{∵} \ m \text{は奇数} ) \\ & = p \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} {} _ {m} \text{C} {} _ {k} (-1)^{m-k} p^{k-1} \end{align}\] よって, これは \(p\) で割り切れる.
(3)
\[\begin{align} (p-1)^m+1 & = mp +\textstyle\sum\limits _ {k=2}^{m} {} _ {m} \text{C} {} _ {k} (-1)^{m-k} p^k \\ & = mp +p^2 \textstyle\sum\limits _ {k=2}^m {} _ {m} \text{C} {} _ {k} (-1)^{m-k} p^{k-2} \end{align}\] \(m\) は \(p\) で割り切れないので, これは \(p^2\) で割り切れない.
(4)
\(s(r) = 3^{r-1}m\) とおく.
「 \(2^{s(r)}+1\) は \(3^r\) で割り切れる. 」... [A] が, すべての自然数 \(r\) について成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(r = 1\) のとき
\(s(1) = m\) なので, (2) の結果において \(p=3\) とおけば, \(2^m+1\) は \(3\) で割り切れないので, [A] が成立する.2* \(r = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき
[A]が成立する, すなわち, \(2^{s(k)}+1 = 3^k M\) （ \(M\) は整数）と仮定すると \[\begin{align} 2^{s(k+1)}+1 & = 2^{3 s(k)} +1 \\ & = \left( 2^{s(k)}+1 \right) \left( 2^{2 s(k)} -2^{s(k)} +1 \right) \\ & = \left( 2^{s(k)}+1 \right) \left\{ \left( 2^{s(k)} +1 \right)^2 -3 \cdot 2^{s(k)} \right\} \\ & = 3^k M \left( 3^{2k} M^2 -3 \cdot 2^{s(k)} \right) \\ & = 3^{k+1} M \left( 3^{2k-1} M^2 -2^{s(k)} \right) \end{align}\] ゆえに, \(r = k+1\) のときも [A] は成立する.
以上より, 題意は示された.