\(1\) つの角が \(120^{\circ}\) の三角形がある. この三角形の \(3\) 辺の長さ \(x , y , z\) は \(x \lt y \lt z\) を満たす整数である.
(1) \(x+y-z = 2\) を満たす \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.
(2) \(x+y-z = 3\) を満たす \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.
(3) \(a , b\) を \(0\) 以上の整数とする. \(x+y-z = 2^a 3^b\) を満たす \(x , y , z\) の組の個数を \(a\) と \(b\) の式で表せ.
【 解 答 】
\(x+y-z = k\) ... [1] とおくと, \(z = x+y-k\) .
余弦定理より
\[\begin{align}
x^2 +y^2 -2xy \cos 120^{\circ} & = (x+y-k)^2 \\
(x+y)^2 -xy & = (x+y)^2 -2k(x+y) +k^2 \\
\text{∴} \quad (x-2k)(y-2k) & = 3k^2 \quad ... [2]
\end{align}\]
(1)
[1] において, \(k = 2\) のときなので, [2] より \[ (x-4)(y-4) = 12 \] \(12 = 2^2 \cdot 3\) で \(x \lt y\) なので \[\begin{align} (x-4 , y-4) & = (1,12) , (2,6) , (3,4) \\ \text{∴} \quad (x,y) & = (5,16) , (6,10) , (7,8) \end{align}\] それぞれに対応する \(z\) は \[ z = 19 , 14 , 13 \] よって \[ (x,y,z) =\underline{(5,16,19) , (6,10,14) , (7,8,13)} \](2)
[1] において, \(k = 3\) のときなので, [2] より \[ (x-6)(y-6) = 27 \] \(27 = 3^3\) で \(x \lt y\) なので \[\begin{align} (x-6 , y-6) & = (1,27) , (3,9) \\ \text{∴} \quad (x,y) & = (7,33) , (9,15) \end{align}\] それぞれに対応する \(z\) は \[ z = 37 , 21 \] よって \[ (x,y,z) =\underline{(7,33,37) , (6,10,21)} \](3)
[1] において, \(k = 2^a 3^b\) のときなので, [2] より \[ (x -2^{a+1} 3^b)(y -2^{a+1} 3^b) = 2^{2a} 3^{2b+1} \quad ... [3] \] \(a^{2a} 3^{2b+1}\) は平方数ではなく, 約数を \((2a+1)(2b+2)\) 個もつので, [3] をみたす \((x,y)\) の組の数は \[ \dfrac{1}{2} (2a+1)(2b+2) = (2a+1)(b+1) \] ここで, \(x \lt y \lt 2k\) なので \[ z = x+y-k \gt 2k+2k-k = 3k \] なので, [3] の解すべてについて, \(z\) は \(x \lt y \lt z\) をみたす.よって, 求める個数は \[ \underline{(2a+1)(b+1)} \]