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\(a\) を \(0\) 以上の定数とする. 関数 \(y = x^3-3a^2x\) のグラフと方程式 \(|x|+|y| = 2\) で表される図形の共有点の個数を求めよ.

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【 解 答 】

与えられたグラフと図形はともに原点について対称なので, \(x \geqq 0\) の部分について考えればよい.
\(y = x^3-3a^2x\) ... [1] と, \(y =-x+2 \ ( 0 \leqq x \leqq 2 )\) ... [2] , \(y = x-2 \ ( 0 \leqq x \lt 2 )\) ... [3] の共有点の個数について考える.
[1] について, \(y = 0\) をとくと \[\begin{align} x ( x -\sqrt{3} a )( x +\sqrt{3} a ) & =0 \\ \text{∴} \quad x = 0 , \sqrt{3} a & \end{align}\] また \[ y' = 3x^2 -3a^2 \]

1. 1*　[1] が点 \((2,0)\) を通るとき \[\begin{align} 0 & =2^3 -6a^2 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \end{align}\]

2. 2*　[1] が [3] と接するとき
   接点の \(x\) 座標を \(t\) とおけば, 接線の方程式は \[\begin{align} y & = (3t^2 -3a^2)(x-t) +t^3 -3a^2t \\ & = (3t^2 -3a^2) x -2t^3 \end{align}\] これが [2] となるので, 係数を比較して \[\begin{align} 3t^2 -3a^2 =1 & , \ -2t^3 =-2 \\ \text{∴} \quad t = 1 & , \ a = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \end{align}\]

\(a\) を変化させたときの 1* 2* の場合を境に共有点の個数は変化する.

よって, 対称性も考慮して, 求める共有点の個数は \[ \underline{\left\{\begin{array}{ll} 2 & \left( \ 0 \lt a \lt \dfrac{\sqrt{6}}{3} \text{のとき} \right) \\ 4 & \left( \ a = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \text{のとき} \right) \\ 6 & \left( \ \dfrac{\sqrt{6}}{3} \lt a \lt \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \text{のとき} \right) \\ 4 & \left( \ a = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \text{のとき} \right) \\ 2 & \left( \ a \gt \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]