定数 \(a , b , c , d\) に対して, 平面上の点 \((p,q)\) を点 \((ap+bq , cp+dq)\) に移す操作を考える. ただし, \((a,b,c,d) \neq (1,0,0,1)\) である. \(k\) を \(0\) でない定数とする. 放物線 \(C : \ y = x^2-x+k\) 上のすべての点は, この操作によって \(C\) 上に移る.
(1) \(a , b , c , d\) を求めよ.
(2) \(C\) 上の点 A における \(C\) の接線と, 点 A をこの操作によって移した点 A' における \(C\) の接線は, 原点で直交する. このときの \(k\) の値および点 A の座標をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) 上の点である点に対して操作を考える.
点 \((0,k)\) を移した点は \((bk , dk)\) なので
\[\begin{gather}
dk = b^2k^2 -bk +k \\
\text{∴} \quad b^2k^2 +(1-b-d)k = 0
\end{gather}\]
任意の \(k\) について成立するので
\[\begin{align}
b^2 = 0 & , \ 1-b-d = 0 \\
\text{∴} \quad b=0 & , \ d=1
\end{align}\]
点 \((k,k^2)\) を移した点は \((ak , ck+k^2)\) なので
\[\begin{gather}
ck+k^2 = a^2k^2 -ak +k \\
\text{∴} \quad \left( a^2-1 \right) k^2 +(1-a-c)k = 0
\end{gather}\]
これが, 任意の \(k\) について成立するので
\[
a^2 -1 =0 , \ 1-a-c=0
\]
\(a = 1\) のとき, \(c=0\) となるので不適.
したがって
\[
a= -1 , \ c=2
\]
よって
\[
(a,b,c,d) = \underline{(-1 , 0 , 2 , 1)}
\]
(2)
(1) の結果より, 点 \((p,q)\) は点 \(( -p , 2p+q )\) に移る.
A \((t , t^2-t+k)\) とおくと
\[
\text{A'} \ ( -t , t^2+t+k )
\]
A , A' の接線をそれぞれ \(\ell _ {\text{A}} , \ell _ {\text{A'}}\) とおくと
\[
y' =2x-1
\]
なので
\[\begin{align}
\ell _ {\text{A}} : \ y & = (2t-1)(x-t) +t^2-t+k \\
& = (2t-1)x -t^2+k \\
\ell _ {\text{A'}} : \ y & = (-2t-1)(x+t) +t^2+t+k \\
& = (-2t-1)x -t^2+k
\end{align}\]
これらがともに原点を通るので
\[
-t^2+k = 0 \quad ... [1]
\]
また, 直交するので
\[\begin{align}
(2t-1)(-2t-1) & = -1 \\
2t^2 -1 & = 0 \\
\text{∴} \quad t = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} &
\end{align}\]
[1] に代入して
\[
k = \underline{\dfrac{1}{2}}
\]
このとき, \(y\) 座標は
\[
t^2-t+k = 1 \mp \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\]
よって, 点 A の座標は
\[
\underline{\left( \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} , 1 \mp \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \quad ( \text{複号同順} )}
\]