はじめに, A が赤玉を \(1\) 個, B が白玉を \(1\) 個, C が青玉を \(1\) 個持っている. 表裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) の硬貨を投げ, 表が出れば A と B の玉を交換し, 裏が出れば B と C の玉を交換する, という操作を考える. この操作を \(n\) 回（ \(n = 1, 2, 3, \cdots\) ）をくり返した後に, A , B , C が赤玉を持っている確率をそれぞれ \(a _ n , b _ n , c _ n\) とおく.
(1) \(a _ 1 , b _ 1 , c _ 1 , a _ 2 , b _ 2 , c _ 2\) を求めよ.
(2) \(a _ {n+1} , b _ {n+1} , c _ {n+1}\) を \(a _ n , b _ n , c _ n\) で表せ.
(3) \(a _ n , b _ n , c _ n\) を求めよ.
解答
(1)
\[\begin{align} a _ 1 & = \underline{\dfrac{1}{2}} , \ b _ 1 = \underline{\dfrac{1}{2}} , \ a _ 1 = \underline{0} , \\ a _ 2 & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} =\underline{\dfrac{1}{2}} , \\ b _ 2 & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} =\underline{\dfrac{1}{4}} , \ c _ 2 =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} =\underline{\dfrac{1}{4}} \end{align}\]
(2)
\(n\) 回目の後, A , B , C が赤玉を持った状態から, \(n+1\) 回目で赤玉を誰が持つことになるか, を表す状態遷移は下図のようになる.
よって \[\begin{align} a _ {n+1} & = \underline{\dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{2} b _ n} \quad ... [1] \\ b _ {n+1} & = \underline{\dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{2} c _ n} \quad ... [2] \\ c _ {n+1} & = \underline{\dfrac{1}{2} b _ n +\dfrac{1}{2} c _ n} \quad ... [3] \end{align}\]
(3)
赤玉は A , B , C の誰かが持っているので \[ a _ n + b _ n + c _ n = 1 \quad ... [4] \] [2] に [4] を用いれば \[\begin{align} b _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} b _ n \\ \text{∴} \quad b _ {n+1} -\dfrac{1}{3} & = -\dfrac{1}{2} \left( b _ n -\dfrac{1}{3} \right) \end{align}\] したがって, 数列 \(\left\{ b _ n -\dfrac{1}{3} \right\}\) は, 初項 \(b _ 1 -\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{2}\) の等比数列なので \[\begin{align} b _ n -\dfrac{1}{3} & = \dfrac{1}{6} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad b _ n & = \underline{\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n} \end{align}\] これを [1] に代入すると \[\begin{align} a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{6} -\dfrac{1}{6} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n+1} = \dfrac{1}{2} \left\{ a _ n -\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{6} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \right\} \end{align}\] したがって, 数列 \(\left\{ a _ n -\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{6} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \right\}\) は, 初項 \(a _ 1 -\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{4}\) , 公比 \(\dfrac{1}{2}\) の等比数列なので \[\begin{align} a _ n -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} \\ \text{∴} \quad a _ n & = \underline{\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n+1} +\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1}} \end{align}\] これらと [4] より \[\begin{align} c _ n & = 1-a _ n -b _ n \\ & = 1 -\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n -\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n+1} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} \\ & =\underline{\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n+1} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1}} \end{align}\]