座標平面上の点 \(( x , y )\) が次の方程式を満たす. \[ 2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4 = 0 \] このとき, \(x\) のとりうる最大の値を求めよ.

【 解 答 】

与えられた方程式を \(y\) の \(2\) 次方程式とみれば \[ 3y^2 +(4x+5)y +2x^2+4x-4 = 0\quad ... [1] \] \(x\) のとりうる値の範囲は, [1] が実数解をもつ条件なので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} D = (4x+5)^2 -4 \cdot 3 (2x^2+4x-4) & \geqq 0 \\ 16x^2 +40x +25 -24x^2 -48x +48 & \leqq 0 \\ 8x^2 +8x -73 & \leqq 0 \\ \text{∴} \quad \dfrac{-2 -5 \sqrt{6}}{4} \leqq y \leqq \dfrac{-2 +5 \sqrt{6}}{4} & \end{align}\] よって, 求める最大値は \[ \underline{\dfrac{-2 +5 \sqrt{6}}{4}} \]