座標平面上の放物線 \(C\) を \(y =x^2+1\) で定める. \(s , t\) は実数とし, \(t \lt 0\) を満たすとする. 点 \((s,t)\) から放物線 \(C\) へ引いた接線を \(l _ 1 , l _ 2\) とする.
(1) \(l _ 1 , l _ 2\) の方程式を求めよ.
(2) \(a\) を正の実数とする. 放物線 \(C\) と直線 \(l _ 1 , l _ 2\) で囲まれる領域の面積が \(a\) となる \((s,t)\) を全て求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) の式より, \(y' = 2x\) なので, 接点の \(x\) 座標が \(p\) である接線 \(l\) の式は
\[\begin{align}
y & = 2p (x-p) +p^2+1 \\
& = 2px -p^2+1
\end{align}\]
これが \((s,t)\) を通るので
\[\begin{align}
t & = 2ps -p^2+1 \\
\text{∴} \quad p^2 & -2sp +t-1 = 0 \quad ... [1]
\end{align}\]
[1] の判別式 \(D\) について
\[
\dfrac{D}{4} = s^2 -t+1 \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ t \lt 0 \ )
\]
なので, [1] は \(2\) つの異なる解をもつ.
[1] を解くと
\[
p = s \pm \sqrt{s^2 -t+1}
\]
よって, 求める方程式は
\[\begin{align}
l _ 1 & : \ \underline{y = 2 \left( s +\sqrt{s^2 -t+1} \right) x -\left( s +\sqrt{s^2 -t+1} \right)^2 +1} , \\
l _ 2 & : \ \underline{y = 2 \left( s -\sqrt{s^2 -t+1} \right) x -\left( s -\sqrt{s^2 -t+1} \right)^2 +1}
\end{align}\]
(2)
\(\alpha = s +\sqrt{s^2 -t+1}\) , \(\beta = s -\sqrt{s^2 -t+1}\) とおくと
\[\begin{align}
l _ 1 & : \ y = 2 \alpha x -\alpha^2 +1 , \\
l _ 2 & : \ y = 2 \beta x -\beta^2 +1
\end{align}\]
また
\[
s = \dfrac{\alpha +\beta}{2}
\]
したがって, 放物線 \(C\) と直線 \(l _ 1 , l _ 2\) に囲まれる領域の面積を \(S\) とおけば
\[\begin{align}
S & = \displaystyle\int _ {\beta}^{s} \left\{ x^2+1 -( 2 \beta x -\beta^2 +1 ) \right\} \, dx \\
& \qquad + \displaystyle\int _ {s}^{\alpha} \left\{ x^2+1 -( 2 \alpha x -\alpha^2 +1 ) \right\} \, dx \\
& = \displaystyle\int _ {\beta}^{\frac{\alpha +\beta}{2}} ( x -\beta )^2 \, dx +\displaystyle\int _ {\frac{\alpha +\beta}{2}}^{\alpha} ( x -\alpha )^2 \, dx \\
& = \left[ \dfrac{( x -\beta )^3}{3} \right] _ {\beta}^{\frac{\alpha +\beta}{2}} +\left[ \dfrac{( x -\alpha )^3}{3} \right] _ {\frac{\alpha +\beta}{2}}^{\alpha} \\
& = \dfrac{( \alpha -\beta )^3}{12} \\
& = \dfrac{2 \left( s^2 -t+1 \right)^{\frac{3}{2}}}{3}
\end{align}\]
したがって, \(S = a\) となるのは
\[\begin{gather}
\dfrac{2 \left( s^2 -t+1 \right)^{\frac{3}{2}}}{3} = a \\
s^2 -t+1 = \left( \dfrac{3a}{2} \right)^{\frac{2}{3}} \\
\text{∴} \quad t = s^2+1 -\left( \dfrac{3a}{2} \right)^{\frac{2}{3}} \quad ... [1]
\end{gather}\]
\(t \lt 0\) , \(s^2 \geqq 0\) なので
\[\begin{align}
1 -\left( \dfrac{3a}{2} \right)^{\frac{2}{3}} & \lt 0 \\
\text{∴} \quad a \gt \dfrac{2}{3} &
\end{align}\]
このとき, [1]は \(t \lt 0\) なる解をもつ.
一方, \(0 \lt a \leqq \dfrac{2}{3}\) のときは
\[
t \geqq 0
\]
なので, [1] は \(t \lt 0\) なる解をもたない.
よって, 求める解は
\[
\underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{解なし} & \left( \ 0 \lt a \leqq \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \\ t = s^2+1 -\left( \dfrac{3a}{2} \right)^{\frac{2}{3}} \lt 0 & \left( \ a \gt \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \end{array} \right.}
\]