座標平面上の \(1\) 点 P \(\left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{4} \right)\) をとる. 放物線 \(y = x^2\) 上の \(2\) 点 Q \(( \alpha , \alpha^2 )\) , R \(( \beta , \beta^2 )\) を, \(3\) 点 P , Q , R が QR を底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき, △PQR の重心 G \(( X , Y )\) の軌跡を求めよ.
【 解 答 】
点 G は △PQR の重心なので
\[\begin{align}
X = \dfrac{\alpha +\beta +\dfrac{1}{2}}{3} & , \quad Y = \dfrac{\alpha^2 +\beta^2 +\dfrac{1}{4}}{3} \\
\text{∴} \quad \alpha +\beta = 3X -\dfrac{1}{2} & , \quad \alpha^2 +\beta^2 = 3Y -\dfrac{1}{4} \quad ... [1]
\end{align}\]
\(\text{PQ} = \text{PR}\) なので
\[\begin{align}
\left( \alpha -\dfrac{1}{2} \right)^2 +\left( \alpha^2 -\dfrac{1}{4} \right)^2 = \left( \beta -\dfrac{1}{2} \right)^2 & +\left( \beta^2 -\dfrac{1}{4} \right)^2 \quad ... [2] \\
( \alpha -\beta ) ( \alpha +\beta -1 ) +( \alpha^2 -\beta^2 ) \left( \alpha^2 +\beta^2 -\dfrac{1}{2} \right) & = 0 \\
( \alpha +\beta -1 ) + ( \alpha +\beta ) \left( \alpha^2 +\beta^2 -\dfrac{1}{2} \right) & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ \alpha -\beta \neq 0 \ ) \\
( \alpha +\beta ) \left( \alpha^2 +\beta^2 +\dfrac{1}{2} \right) -1 & = 0 \quad ... [3]
\end{align}\]
[1] を代入すると
\[\begin{align}
\left( 3X -\dfrac{1}{2} \right) \left( 3Y +\dfrac{1}{4} \right) & = 1 \\
\text{∴} \quad \left( X -\dfrac{1}{6} \right) \left( Y +\dfrac{1}{12} \right) & = \dfrac{1}{9}
\end{align}\]
続いて, \(X\) の取り得る値の範囲について考える.
条件より, \(\alpha = \beta\) となることはないので, \(\alpha \neq \beta\) となるための \(X\) の条件を求めればよい.
\(s = \alpha +\beta\) , \(t = \alpha^2 +\beta^2\) とおく.
[1] より
\[
\alpha \beta = \dfrac{s^2 -t}{2}
\]
なので, \(\alpha\) , \(\beta\) は \(2\) 次方程式 \(z^2 -sz +\dfrac{s^2 -t}{2} = 0\) の異なる \(2\) 解なので, 判別式 \(D\) について
\[\begin{align}
D = s^2 -4 \cdot \dfrac{s^2 -t}{2} & =-s^2 +2t \gt 0 \\
\text{∴} \quad s^2 & \lt 2t \quad ... [4]
\end{align}\]
[3] より
\[\begin{align}
s \left( t +\dfrac{1}{2} \right) & = 1 \\
\text{∴} \quad t & = \dfrac{1}{s} -\dfrac{1}{2}
\end{align}\]
\(t \gt 0\) なので, \(0 \lt s \lt 2\) .
[4] に代入して
\[
s^2 \lt \dfrac{2}{s} -1 \\
s^3 +s -2 \lt 0 \\
( s-1 )( s^2 +s +2 ) \lt 0 \\
\text{∴} \quad 0 \lt s \lt 1
\]
したがって
\[
0 \lt 3X -\dfrac{1}{2} \lt 1 \\
\text{∴} \quad \dfrac{1}{6} \lt X \lt \dfrac{1}{2}
\]
以上より求める軌跡は
\[
\underline{\text{双曲線} : \ \left( x -\dfrac{1}{6} \right) \left( y +\dfrac{1}{12} \right) = \dfrac{1}{9} \quad \left( \dfrac{1}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2} \right)}
\]