白黒 \(2\) 種類のカードがたくさんある. そのうち \(k\) 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.
- (A) 手持ちの \(k\) 枚の中から \(1\) 枚を, 等確率 \(\dfrac{1}{k}\) で選び出し, それを違う色のカードにとりかえる.
以下の問 (1) , (2) に答えよ.
(1) 最初に白 \(2\) 枚, 黒 \(2\) 枚, 合計 \(4\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(4\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2) 最初に白 \(3\) 枚, 黒 \(3\) 枚, 合計 \(6\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(6\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後, \(2\) 色のカードが \(2\) 枚ずつとなる確率を \(a _ n\) , \(1\) 枚と \(3\) 枚である確率を \(b _ n\) とおく. ただし, \(1\) 度でも \(4\) 枚のカードが同じ色になる場合は除いて考える.
このとき
\[\begin{align}
a _ {n+1} =\dfrac{3}{4} b _ n & , \quad b _ {n+1} =a _ n \\
\text{∴} \quad b _ {n+2} & = \dfrac{3}{4} b _ n
\end{align}\]
\(b _ 0 =0\) , \(b _ 1 =1\) なので
\(n\) が偶数のとき \(b _ n =0\)
\(n\) が奇数のとき \(b _ n =\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-1}{2}}\)
求める確率は, \(\dfrac{1}{4} b _ {n-1} \quad ( n \geqq 2 )\) と表せるので
\(n\) が偶数のとき \(\underline{\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n}{2}-1}}\)
\(n\) が奇数のとき \(\underline{0}\)
(2)
操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後, \(2\) 色のカードが \(3\) 枚ずつとなる確率を \(p _ n\) , \(2\) 枚と \(4\) 枚である確率を \(q _ n\) , \(1\) 枚と \(5\) 枚である確率を \(r _ n\) とおく. ただし, \(1\) 度でも \(6\) 枚のカードが同じ色になる場合は除いて考える.
このとき
\[\begin{align}
p _ {n+1} & = \dfrac{2}{3} q _ n , \quad q _ {n+1} =p _ n +\dfrac{5}{6} r _ n , \quad r _ {n+1} =\dfrac{1}{3} q _ n \\
\text{∴} \quad q _ {n+2} & =p _ {n+1} +\dfrac{5}{6} r _ {n+1} = \dfrac{2}{3} q _ n +\dfrac{5}{18} q _ n = \dfrac{17}{18} q _ n
\end{align}\]
\(q _ 0 =0\) , \(q _ 1 =1\) なので,
\(n\) が偶数のとき \(q _ n =0\)
\(n\) が奇数のとき \(q _ n =\left( \dfrac{17}{18} \right)^{\frac{n-1}{2}}\)
求める確率は, \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} q _ {n-2} =\dfrac{1}{18} q _ {n-2}\) （ \(n \geqq 3\) ）と表せるので
\(n=1\) , \(n\) が偶数のとき \(\underline{0}\)
\(n\) が \(3\) 以上の奇数のとき \(\underline{\dfrac{1}{18} \left( \dfrac{17}{18} \right)^{\frac{n-3}{2}}}\)