座標平面上の \(3\) 点 A \((1,0)\) , B \((-1,0)\) , C \((0,-1)\) に対し, \[ \angle \text{APC} = \angle \text{BPC} \] をみたす点 P の軌跡を求めよ. ただし \(\text{P} \neq \text{A, B, C}\) とする.
【 解 答 】
- 1* \(x=0\) のとき
△ABP は直線 PC を対称の軸とする二等辺三角形となるから
\[
y \neq -1
\]
△ABP は直線 PC を対称の軸とする二等辺三角形となるから
\[
y \neq -1
\]以下の場合では, 対称性から \(x \gt 0\) について考えればよい.
2* \(y=0\) のとき
(ア) \(0 \lt x \lt 1\) のとき \[ \angle \text{APC} = 180^{\circ} - \angle \text{BPC} \gt 90^{\circ} \] なので, 不適.
(イ) \(x \gt 1\) のとき \[ \angle \text{APC} = \angle \text{BPC} \] （ \(2\) つの角が重なっている）なので, 適する.
したがって \[ x \gt 1 \]
3* \(y \lt 0\) のとき
(ア) \(y \leqq x-1\) のとき \[ \angle \text{APC} = \angle \text{APB} +\angle \text{BPC} \gt \angle \text{BPC} \] なので, 不適.
(イ) \(y \gt x-1\) のとき
△ABCの対称性から, \(\angle \text{APC} = \angle \text{BPC}\) となるのは, OC上の点のみで不適.
4* \(y \gt 0\) のとき
\(3\) 点 A , B , C を通る円は \(C : \ x^2+y^2 = 1\) で, \(y \gt 0\) の領域は, \(C\) の上半円側にある.
\(\text{AC} = \text{BC}\) なので, \(\angle \text{APC} = \angle \text{BPC}\) となる点は, 円周角の定理より \(C\) 上の点である.
\(C\) 上にない点については, 円周角の定理の逆より条件をみたさず不適.
したがって \[\begin{gather} x^2+y^2=1 \\ \text{∴} \quad y = \sqrt{1 -x^2} \end{gather}\]
\(3\) 点 A , B , C を通る円は \(C : \ x^2+y^2 = 1\) で, \(y \gt 0\) の領域は, \(C\) の上半円側にある.1*～4*より求める点 P の軌跡は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{直線} : \ y \neq -1 & ( \ x=0 \text{のとき} ) \\ \text{半円} : \ y= \sqrt{1-x^2} & ( \ 0 \lt |x| \lt 1 \text{のとき} ) \\ \text{直線} : \ y=0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \] であり, 図示すると下図太線部（○点は除く）となる.
