\(O\) を原点とする \(xy\) 平面において, 直線 \(y=1\) の \(\big| x \big| \geqq 1\) を満たす部分を \(C\) とする.
(1) \(C\) 上に点 \(A ( t , 1 )\) をとるとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線の方程式を求めよ.
(2) 点 \(A\) が \(C\) 全体を動くとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それを図示せよ.
【 解 答 】
(1)
線分 \(OA\) の中点は, \(\left( \dfrac{t}{2} , \dfrac{1}{2} \right)\) .
求める直線は, この点を通り, \(OA\) の方向ベクトル \(\left( \begin{array}{c} t \\ 1 \end{array} \right)\) と垂直なので
\[\begin{gather}
t \cdot \left( x -\dfrac{t}{2} \right) -1 \cdot \left( y -\dfrac{1}{2} \right) = 0 \quad ... [1] \\
\underline{2tx -2y -t^2 +1 =0}
\end{gather}\]
(2)
[1] を \(y\) について解くと \[\begin{align} y & = -\dfrac{t^2}{2} +xt +\dfrac{1}{2} \\ & = -\dfrac{1}{2}(t-x)^2 +\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{1}{2} \end{align}\] これを \(f(t)\) とおくと, \(\big| t \big| \geqq 1\) において \(f(t)\) の取りうる最大値の候補は \[ f(-1) = -x , \ f(1) = x \] また, 最小値の候補は \[\begin{align} f(-1) & = -x , \ f(1) = x , \\ f(x) & = -\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{1}{2} \quad \left( \text{ただし} \ \big| x \big| \geqq 1 \text{のときに限る} \right) \end{align}\] 以上の大小を比較すれば, 求める領域は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} -\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{1}{2} \leqq y \leqq -x & ( x \leqq -1 \text{のとき} ) \\ x \leqq y \leqq -x & ( -1 \lt x \leqq 0 \text{のとき} ) \\ -x \leqq y \leqq x & ( 0 \lt x \leqq 1 \text{のとき} ) \\ -\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{1}{2} \leqq y \leqq x & ( x \gt 1 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \] であり, これを図示すると下図斜線部（境界を含む）.