自然数 \(n\) に対し, 関数 \[ F _ n(x) = \displaystyle\int _ x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad ( x \geqq 0 ) \] を考える.
(1) 関数 \(F _ n(x) \ ( x \geqq 0 )\) はただ一つの点で最大値をとることを示し, \(F _ n(x)\) が最大となるような \(x\) の値 \(a _ n\) を求めよ.
(2) (1) で求めた \(a _ n\) に対し, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log a _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(f _ n(t) = \displaystyle\int e^{-t^n} \, dt\) とおけば \[ f' _ n(t) = e^{-t^n} \] これを用いれば, \(F _ n(x) = f _ n(2x) -f _ n(x)\) なので \[\begin{align} F' _ n(x) & = 2f' _ n(2x) -f' _ n(x) = 2 e^{-(2x)^n} -e^{-x^n} \\ & = 2 \left( e^{-x^n} \right)^{2^n} -e^{-x^n} \end{align}\] ここで, \(X =e^{-x^n}\) とおくと \[ F' _ n(x) = 2 X^{2^n} -X = X \left( 2X^{2^n-1} -1 \right) \] \(X = e^{-x^n}\) は, \(n\) が自然数なので, \(x \geqq 0\) において単調減少し, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} e^{-x^n} =0\) なので \[ 0 \lt X \leqq e^{-0^n} =1 \] この範囲で, \(F' _ n(x) =0\) を解くと \[\begin{align} X^{2^n-1} & = \dfrac{1}{2} \\ X & = 2^{- \frac{1}{2^n-1}} \\ \text{∴} \quad e^{-x^n} & = 2^{- \frac{1}{2^n-1}} \\ \text{∴} \quad -x^n & = -\dfrac{\log 2}{2^n-1} \\ \text{∴} \quad x & = \sqrt[n]{\dfrac{\log 2}{2^n-1}} \end{align}\] したがって, \(F _ n(x)\) の増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} x & 0 & \cdots & \sqrt[n]{\dfrac{\log 2}{2^n-1}} & \cdots \\ \hline F _ n'(x) & & + & 0 & - \\ \hline F _ n(x) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow \end{array} \] ゆえに \[ a _ n = \underline{\sqrt[n]{\dfrac{\log 2}{2^n-1}}} \]
(2)
\[\begin{align} \log a _ n & = \dfrac{1}{n} \left\{ \log 2 -\log ( 2^n-1 ) \right\} \\ & = \dfrac{1}{n} \left\{ \log 2 -\log 2^n \left( 1 -\dfrac{1}{2^n} \right) \right\} \\ & = \dfrac{\log 2}{n} -\log 2 -\dfrac{1}{n} \cdot \log \left( 1 -\dfrac{1}{2^n} \right) \\ & \rightarrow 0 -\log 2 -0 \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \\ & = -\log 2 \end{align}\] ゆえに \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n = \underline{- \log 2} \]