\(\alpha\) を \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) を満たす定数とする. 円 \(C : \ x^2+( y+ \sin \alpha )^2 = 1\) および, その中心を通る直線 \(l : \ y = ( \tan \alpha )x -\sin \alpha\) を考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 直線 \(l\) と円 \(C\) の \(2\) つの交点の座標を \(\alpha\) を用いて表せ.
(2) 等式 \[ 2 \displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx +\displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \dfrac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ.
(3) 連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \leqq ( \tan \alpha )x -\sin \alpha \\ x^2+( y+ \sin \alpha )^2 \leqq 1 \end{array} \right. \] の表す \(xy\) 平面上の図形を \(D\) とする. 図形 \(D\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
直線 \(l\) は \(C\) の中心を通り, 傾きが \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) である.
\(C\) の半径は \(1 \ \left( = \sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha \right)\) であることから, 交点は, 中心 \(( 0 , \sin \alpha )\) から \(\left( \begin{array}{c} \pm \cos \alpha \\ \pm \sin \alpha \end{array} \right) \ ( \text{複号同順} )\) 移動した点である.
ゆえに求める交点は
\[
\underline{( -\cos \alpha , -2 \sin \alpha ) , ( \cos \alpha , 0 )}
\]
(2)
与式を \(I\) とおく.
関数 \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\) （ \(-1 \leqq x \leqq 1\) ）は, \(f(-x) = f(x)\) が成立する奇関数なので
\[
\displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \displaystyle\int _ {-1}^{-\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx
\]
したがって,
\[\begin{align}
I & = \displaystyle\int _ {-1}^{-\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx +\displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx +\displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx \\
& = \displaystyle\int _ {-1}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx
\end{align}\]
これは, 半径 \(1\) の半円の面積に等しいので
\[
I = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}
\]
(3)
求める体積 \(V\) は, 上図の回転体の体積 \(V _ 1 , V _ 2 , V _ 3\) を用いて \[ V = V _ 1 -V _ 2 -V _ 3 \] と表せる. \[\begin{align} V _ 1 & = \pi \displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^1 \left( -\sin \alpha -\sqrt{1-x^2} \right)^2 \, dx \\ & = \pi \displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^1 ( 1-x^2) \, dx \\ & \qquad +2 \pi \sin \alpha \displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx +\pi \sin^2 \alpha ( 1 +\cos \alpha ) , \\ V _ 2 & = \dfrac{1}{3} \cdot \pi ( 2 \sin \alpha )^2 \cdot 2 \cos \alpha = \dfrac{8 \pi}{3} \sin^2 \alpha \cos \alpha , \\ V _ 3 & = \pi \displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \left( -\sin \alpha +\sqrt{1-x^2} \right)^2 \, dx \\ & = \pi \displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 ( 1-x^2) \, dx \\ & \qquad +2 \pi \sin \alpha \displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx +\pi \sin^2 \alpha ( 1 -\cos \alpha ) \end{align}\] 以上を用いれば \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^{\cos \alpha} ( 1-x^2 ) \, dx \\ & \quad +2 \pi \sin \alpha \left( \displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx +\displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx \right) \\ & \qquad -\dfrac{2 \pi}{3} \sin^2 \alpha \cos \alpha \\ & = 2 \pi \displaystyle\int _ {0}^{\cos \alpha} ( 1-x^2) \, dx \\ & \quad +2 \pi \sin \alpha \left( 2 \displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx +\displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx \right) \\ & \qquad -\dfrac{2 \pi}{3} \sin^2 \alpha \cos \alpha \\ & = 2 \pi \left[ x -\dfrac{x^3}{3} \right] _ 0^{\cos \alpha} +2\pi \sin \alpha \cdot \dfrac{\pi}{2} \\ & \qquad -\dfrac{2 \pi}{3}( 1 -\cos^2 \alpha ) \cos \alpha \quad ( \ \text{∵} \ \text{(2)の結果} ) \\ & = 2\pi \left( \cos \alpha -\dfrac{\cos^3 \alpha}{3} \right) +\pi^2 \sin \alpha -\dfrac{2 \pi}{3} ( 1 -\cos^2 \alpha ) \cos \alpha \\ & = \underline{\dfrac{4\pi}{3} \cos \alpha +\pi^2 \sin \alpha} \end{align}\]