\(k , m , n\) は整数とし, \(n \geqq 1\) とする. \({} _ {n}\text{C} {} _ {k}\) を二項係数として, \(S_k(n) , T_m(n)\) を以下のように定める. \[\begin{align} S_k(n) & = 1^k +2^k + \cdots +n^k , \ S_k(1) = 1 \quad ( k \geqq 0 ） \\ T_m(n) & = {} _ {m}\text{C} {} _ {1} S_1(n) +{} _ {m}\text{C} {} _ {2} S_2(n) + \cdots +{} _ {m}\text{C} {} _ {m-1} S_{m-1}(n) \\ & = \textstyle\sum\limits_{k=1}^{m-1} {} _ {m}\text{C} {} _ {k} S_k(n) \quad ( m \geqq 2 ) \end{align}\]
(1) \(T_m(1)\) と \(T_m(2)\) を求めよ.
(2) 一般の \(n\) に対して \(T_m(n)\) を求めよ.
(3) \(p\) が \(3\) 以上の素数のとき, \(S_k(p-1) \ ( k = 1, 2, 3, \cdots , p-2 )\) は \(p\) の倍数であることを示せ .
【 解 答 】
(1)
条件より \[ S_k(1) = 1 , \ S_k(2) = 1+2^k \] また \[\begin{align} \textstyle\sum\limits_{i=0}^m {} _ {m}\text{C} {} _ {i} & = (1+1)^m = 2^m \ , \\ \textstyle\sum\limits_{i=0}^m 2^i {} _ {m}\text{C} {} _ {i} & = (2+1)^m = 3^m \ . \end{align}\] なので, これらを用いれば \[ \begin{align} T_m(1) & = {} _ {m}\text{C} {} _ {1} S_1(1) + \cdots +{} _ {m}\text{C} {} _ {m-1} S_{m-1}(1) \\ & = \textstyle\sum\limits_{i=1}^{m-1} {} _ {m}\text{C} {} _ {i} \\ & = \textstyle\sum\limits_{i=0}^{m} {} _ {m}\text{C} {} _ {i} -\left( 1^m +1 \right) \\ & = \underline{2^m-2} \ , \\ T_m(2) & = {} _ {m}\text{C} {} _ {1} S_1(2) + \cdots +{} _ {m}\text{C} {} _ {m-1} S_{m-1}(2) \\ & = \textstyle\sum\limits_{i=1}^{m-1} {} _ {m}\text{C} {} _ {i} +\textstyle\sum\limits_{i=1}^{m-1} 2^{i} {} _ {m}\text{C} {} _ {i} \\ & = T_m(1) +\textstyle\sum\limits_{i=0}^{m} 2^{i} {} _ {m}\text{C} {} _ {i} -\left( 2^m +1 \right) \\ & = \underline{3^m-3} \ . \end{align} \]
(2)
(1) と同様に計算すれば \[ \begin{align} T_m(n) & = {} _ {m}\text{C} {} _ {1} S_1(n) + \cdots +{} _ {m}\text{C} {} _ {m-1} S_{m-1}(n) \\ & = \textstyle\sum\limits_{j=1}^{n} \textstyle\sum\limits_{i=1}^{m-1} j^{i} {} _ {m}\text{C} {} _ {i}\\ & = \textstyle\sum\limits_{j=1}^{n} \textstyle\sum\limits_{i=0}^{m} \left\{ j^{i} {} _ {m}\text{C} {} _ {i} -\left( j^m +1 \right) \right\} \\ & = \textstyle\sum\limits_{j=1}^{n} \left\{ (j+1)^m - j^m -1 \right\} \\ & = \left\{ (n+1)^m - n^m \right\} + \cdots + ( 2^m -1 ) -n\\ & = \underline{(n+1)^m -(n+1)} \ . \end{align} \]
(3)
(2) の結果について, \(n = p-1\) とおけば \[ T_{m}(p-1) = p^{p-1}-p \ . \] なので, 「 \(T_m(p-1)\) は \(p\) で割切れる. 」 ... [1] また, \(1 \leqq i \leqq p-1 , \ 1 \leqq j \leqq i\) をみたす自然数 \(i , j\) に対して, \(i !\) が \(p\) で割切れないので, 「 \({} _ {i}\text{C} {} _ {j} = \dfrac{i !}{i! ( i-j )!}\) は, \(p\) で割切れない. 」 ... [2] 以下では, 「 \(S_{k}(p-1)\) が \(p\) で割切れる. 」 ... [A] が \(k = 1 , 2 , \cdots , p-2\) で成立することを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(k = 1\) のとき \[\begin{align} S_1(p-1) & = 1 +2 + \cdots +(p-1) \\ & = \dfrac{p(p-1)}{2} \ . \end{align}\] \(p\) は \(3\) 以上の素数なので, \(\dfrac{p-1}{2}\) は整数となり, \(S_1(p-1)\) は \(p\) で割切れる.
つまり, \(k = 1\) のとき, [A] は成立する.2* \(k = 1 , \cdots , \ell \ (1 \leqq \ell \leqq p-3 )\) のとき
[A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} T_{\ell +2} & (p-1) \\ & = \textstyle\sum\limits_{i=1}^{\ell +1} {} _ {\ell+2}\text{C} {} _ {i} S _ {i}(p-1) \\ & = \textstyle\sum\limits_{i=1}^{\ell} {} _ {\ell+2}\text{C} {} _ {i} S _ {i}(p-1) +{} _ {\ell+2}\text{C} {} _ {\ell +1} S _ {\ell +1}(p-1) \ . \end{align}\] ゆえに \[\begin{align} {} _ {\ell+2}\text{C} {} _ {\ell +1} & S _ {\ell +1}(p-1) = \\ & T _ {\ell +2} (p-1) -\textstyle\sum\limits_{i=1}^{\ell} {} _ {\ell+2}\text{C} {} _ {i} S _ {i}(p-1) \ . \end{align} \] [1] と仮定より右辺は \(p\) で割切れる.
したがって, [2] より \(S_{\ell +1}(p-1)\) が \(p\) で割切れる.
つまり, \(k = \ell +1\) のとき, [A] は成立する.
以上より, 題意は示された.