半径 \(1\) の円を底面とする高さ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) の直円柱がある. 底面の円の中心を O とし, 直径を \(1\) つとり AB とおく. AB を含み底面と \(45^{\circ}\) の角度をなす平面でこの直円柱を \(2\) つの部分に分けるとき, 体積の小さい方の部分を \(V\) とする.
(1) 直径 AB に直交し, O との距離が \(t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) であるような平面で \(V\) を切ったときの断面積 \(S(t)\) を求めよ.
(2) \(V\) の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
下図のように, 点 O を原点とし, AB を \(x\) 軸, 底面を平面 \(z = 0\) とするような座標軸をとる.
円柱の高さについて \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \lt 1 \cdot \tan 45^{\circ}\) なので, 部分 \(V\) は上面をもつ.
上面の弧を CD とおくと, 条件より, C の座標は
\[
\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \ .
\]
したがって, 平面 \(x = t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) による \(V\) の断面は, \(t\) の値によって \(2\) つの場合が考えられる.
- 1* \(0 \leqq t \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) のとき
断面は上図のようになり \[\begin{align} S(t) & = \dfrac{1}{2} \left\{ \sqrt{1-t^2} +\left( \sqrt{1-t^2} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{2 (1-t^2)}}{2} -\dfrac{1}{4} \ . \end{align}\]
- 2* \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \lt t \leqq 1\) のとき
断面は上図のようになり \[\begin{align} S(t) & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-t^2} \right)^2 \\ & = \dfrac{1-t^2}{2} \ . \end{align}\]
よって \[ S(t) = \underline{\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{\sqrt{2(1-t^2)}}{2} -\dfrac{1}{4} & \left( 0 \leqq t \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{のとき} \right) \\ \dfrac{1-t^2}{2} & \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \lt t \leqq 1 \text{のとき} \right) \end{array}\right.} \ . \]
(2)
\(V\) は平面 \(x = 0\) について対称なので, 求める体積 \(W\) は \[\begin{align} W & = 2 \displaystyle\int _ 0^1 S(t) \, dt \\ & = \sqrt{2} \underline{\displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{1-t^2} \, dt} _ {[1]} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} +\displaystyle\int _ {\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 (1-t^2) \, dt \ . \end{align}\] ここで, 下線部 [1] は下図の斜線部の面積を表すので
\[\begin{align} W & = \sqrt{2} \left\{ \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 +\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{4} \right\} -\dfrac{\sqrt{2}}{4} +\left[ t -\dfrac{t^3}{3} \right] _ {\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{2} \pi}{8} -\dfrac{5 \sqrt{2}}{12} +\dfrac{2}{3}} \ . \end{align}\]