【 解 答 】

\(1000\) 以下の \(k\) の倍数の個数は \(\left[ \dfrac{1000}{k} \right]\) で表せる.
\(2 , 3 , 5 , 7\) の倍数, 公倍数の個数を考えると \[\begin{align} \left[ \dfrac{1000}{2} \right] & = 500 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{3} \right] = 333 \ , \\ \left[ \dfrac{1000}{5} \right] & = 200 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{7} \right] = 142 \ , \\ \left[ \dfrac{1000}{6} \right] & = 166 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{10} \right] = 100 \ , \\ \left[ \dfrac{1000}{14} \right] & = 71 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{15} \right] = 66 \ , \\ \left[ \dfrac{1000}{21} \right] & = 47 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{35} \right] = 28 \ , \\ \left[ \dfrac{1000}{30} \right] & = 33 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{42} \right] = 23 \ , \\ \left[ \dfrac{1000}{70} \right] & = 14 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{105} \right] = 9 \ , \\ \left[ \dfrac{1000}{210} \right] & = 4 \end{align}\] なので, \(2 , 3 , 5 , 7\) のいずれかの倍数である \(1000\) 以下の整数の個数は \[\begin{align} 500 & +333 +200 +142 \\ & \qquad -166 -100 -71 -66 -47 -28 \\ & \qquad +33 +23 +14 +9 -4 \\ & = 1175 -478 +79 -4 \\ & = 772 \end{align}\] これには素数が \(4\) 個含まれているので, \(1000\) 以下の素数の個数 \(N\) は \[\begin{align} N & \lt 1000 -( 772 -4 ) \\ & = 232 \lt 250 \end{align}\] よって, 題意は示された.