実数 \(x\) に対し, \(x\) を超えない最大の整数を \([ x ]\) で表す. 数列 \(\{ a_k \}\) を \[ a_k = 2^{\left[ \sqrt{k} \right]} \quad ( k = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定義する. 正の整数 \(n\) に対して \[ b_n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n^2} a_k \] を求めよ.
【 解 答 】
整数 \(m\) について, \(m^2 \leqq k \leqq (m+1)^2 -1 = m^2 +2m\) のとき, \(\left[ \sqrt{k} \right] = m\) .
[1] をみたす整数 \(k\) は
\[
( m^2 +2m ) -m^2 +1 = 2m+1 \ \text{個}
\]
ある.
したがって, \(b_1 = 2\) であり, \(n \geqq 2\) について
\[\begin{align}
b_n & = \underline{\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n-1} (2m+1) 2^m} _ {[2]} +2^n
\end{align}\]
\(S_n = [2]\) とおくと
\[\begin{array}{rllrllll}
S_n & = & 3 \cdot 2 & +5 \cdot 2^2 & +\cdots & +(2n-1) 2^{n-1} & & ... [3] \\
2 S_2 & = & & 3 \cdot 2^2 & +\cdots & +(2n-3) 2^{n-1} & +(2n-1) 2^n & ... [4]
\end{array}\]
\([4] -[3]\) より
\[\begin{align}
S_n & = (2n-1) 2^n -2 \left( 2^2 +\cdots +2^{n-1} \right) -3 \cdot 2 \\
& = (2n-1) 2^n -8 \cdot \dfrac{2^{n-2} -1}{2-1} -6 \\
& = (2n-1) 2^n -2^{n+1} +2 \\
& = (2n-3) 2^n +2
\end{align}\]
よって
\[
b_n = \underline{(n-1) 2^{n+1} +2}
\]
これは, \(n = 1\) のときも成立する.