次の問いに答えよ.
(1) \(a , b\) を実数とし, \(2\) 次方程式 \(x^2 -ax +b = 0\) が実数解 \(\alpha , \beta\) をもつとする. ただし, 重解の場合は \(\alpha = \beta\) とする. \(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在する \(( a , b )\) の範囲を求め図示せよ.
(2) \(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在するとき, \[ \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2} \] の値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(2\) 次方程式の判別式について
\[\begin{align}
D & = a^2 -4b \geqq 0 \\
\text{∴} \quad & b \leqq \dfrac{a^2}{4} \quad ... [1]
\end{align}\]
解と係数の関係より
\[
\alpha +\beta = a \ , \ \alpha \beta = b \quad ... [2]
\]
\(\alpha \lt \beta\) としても一般性を失わない.
三角形が存在する条件は
\[\begin{align}
\alpha +\beta \gt 1 \ & \text{かつ} \ \alpha +1 \lt \beta \\
\text{∴} \quad a \gt 1 \ & \text{かつ} \ \beta -\alpha \lt 1 \quad ... [3]
\end{align}\]
[2] より
\[\begin{align}
\beta -\alpha & = \sqrt{( \alpha +\beta )^2 -4 \alpha \beta} \\
& = \sqrt{a^2 -4b}
\end{align}\]
なので
\[\begin{align}
a^2 -4b & \lt 1 \\
\text{∴} \quad b & \gt \dfrac{a^2}{4} -\dfrac{1}{4} \quad ... [4]
\end{align}\]
よって, [1] [3] [4] より, 求める \(( a , b )\) の範囲は下図斜線部（実線境界を含み, 点線境界と○は含まない. ）
(2)
\(k = \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2}\) とおくと
\[\begin{align}
k & = \dfrac{b+1}{a^2} \\
\text{∴} \quad b & = k a^2 -1 \quad ... [5]
\end{align}\]
[5] は, 点 \(( 0 , -1 )\) を頂点にもつ放物線または直線 : \(b = -1\) を表す.
[5] が (1) で求めた領域と共有点を \(k\) の範囲を求めればよい.
1* \(k \leqq 0\) のとき
[5] は共有点をもたない.2* \(k \gt 0\) のとき
[5] が, 境界となっている放物線と交わる条件は \[ a \gt \dfrac{1}{4} \quad ... [6] \] 点 \(\left( 1 , \dfrac{1}{4} \right)\) を通るのは \[\begin{align} \dfrac{1}{4} & = k -1 \\ \text{∴} \quad k & = \dfrac{5}{4} \end{align}\] ゆえに, 共有点をもつ条件は \[ \dfrac{1}{4} \lt k \lt \dfrac{5}{4} \]
よって, 求める範囲は \[ \underline{\dfrac{1}{4} \lt \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2} \lt \dfrac{5}{4}} \]