\(k \gt 0\) とする. 円 \(C\) を \(x^2 +(y-1)^2 = 1\) とし, 放物線 \(S\) を \(y = \dfrac{1}{k} x^2\) とする.
(1) \(C\) と \(S\) が共有点をちょうど \(3\) 個持つときの \(k\) の範囲を求めよ.
(2) \(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(C\) と \(S\) の共有点のうちで \(x\) 座標が正の点を P とする. P における \(S\) の接線と \(S\) と \(y\) 軸とによって囲まれる領域の面積の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) と \(S\) の式から \(y\) を消去して \[\begin{align} x^2 +\left( \dfrac{x^2}{k} -1 \right)^2 & = 0 \\ \dfrac{x^4}{k^2} +\left( -\dfrac{2}{k} +1 \right) x^2 & = 0 \\ \text{∴} \quad x^2 \left\{ x^2 -k (2-k) \right\} & = 0 \end{align}\] これが \(3\) つの異なる実数解をもつ条件を求めればよいので \[\begin{gather} k (2-k) \gt 0 \\ \text{∴} \quad \underline{0 \lt k \lt 2} \end{gather}\]
(2)
P の \(x\) 座標を \(t\) とおけば
\[
t = \sqrt{k (2-k)}
\]
この点における \(S\) の接線の式は \(y' = \dfrac{2x}{k}\) より
\[\begin{align}
y & = \dfrac{2t}{k} (x-t) +\dfrac{t^2}{k} \\
& = \dfrac{2t}{k} x -\dfrac{t^2}{k}
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
S & = \displaystyle\int _ {0}^{t} \left( \dfrac{x^2}{k} -\dfrac{2t}{k} x +\dfrac{t^2}{k} \right) \, dx \\
& = \dfrac{1}{k} \displaystyle\int _ {0}^{t} (x-t)^2 \, dx \\
& = \dfrac{1}{k} \left[ \dfrac{1}{3} (x-t)^3 \right] _ {0}^{t} \\
& = \dfrac{t^3}{3k} \\
& = \dfrac{\sqrt{k^3 (2-k)^3}}{3k} \\
& = \dfrac{1}{3} \sqrt{\underline{k (2-k)^3} _ {[1]}}
\end{align}\]
[1] が最大となるとき, \(S\) も最大となる.
\(s = 2-k\) とおくと (1) の結果より, \(0 \lt s \lt 2\) .
また [1] について
\[
[1] = (2-s) s^3 = -s^4 +2s^3
\]
これを \(f(s)\) とおくと
\[
f'(s) = -4s^3 +6s^2 = -2s^2 (2s-3)
\]
したがって, \(f(s)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} s & (0) & \cdots & \dfrac{3}{2} & \cdots & (2) \\ \hline f'(s) & & + & 0 & - & & \\ \hline f(s) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
ここで
\[
f \left( \dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 = \dfrac{27}{16}
\]
よって, 求める最大値は
\[
\dfrac{1}{3} \sqrt{f \left( \dfrac{3}{2} \right)} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3 \sqrt{3}}{4} = \underline{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}
\]