サイコロを \(3\) 回投げて出た目を順に \(a , b , c\) とするとき, \[ \displaystyle\int _ {a-3}^{a+3} (x-b) (x-c) \, dx = 0 \] となる確率を求めよ.
【 解 答 】
サイコロの目の出方は \(6^3\) 通り.
\[\begin{align}
\displaystyle\int _ {a-3}^{a+3} (x-b) (x-c) \, dx & = \left[ \dfrac{x^3}{3} -(b+c) \dfrac{x^2}{2} +bc x \right] _ {a-3}^{a+3} \\
& = \dfrac{1}{3} (a+3)^3 -\dfrac{1}{2} (b+c) (a+3)^2 +bc (a+3) \\
& \qquad -\dfrac{1}{3} (a-3)^3 +\dfrac{1}{2} (b+c) (a-3)^2 -bc (a+3) \\
& = 6 ( a^2 +3 ) -6 (b+c) a +6bc = 0
\end{align}\]
ゆえに
\[\begin{align}
a^2 -a (b+c) +bc & = -3 \\
(a-b) (a-c) & = -3 \\
\text{∴} \quad ( a-b \, , \, a-c ) & = ( \pm 1 , \mp 3 ) , ( \pm 3 , \mp 1 ) \quad ( \text{複号同順} )
\end{align}\]
したがって
\[
a = b \pm 1 = c \mp 3 \ \text{または} \ a = b \pm 3 = c \mp 1 \quad ( \text{複号同順} )
\]
これをとくと
\[\begin{align}
( a , b , c ) = & ( 2 , 1 , 5 ) , ( 3 , 2 , 6 ) , ( 4 , 5 , 1 ) , ( 5 , 6 , 2 ) , \\
& ( 4 , 1 , 5 ) , ( 5 , 2 , 6 ) , ( 2 , 5 , 1 ) , ( 3 , 6 , 2 )
\end{align}\]
で, 条件をみたす組は \(8\) 組.
よって, 求める確率は
\[
\dfrac{8}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{27}}
\]