ある硬貨を投げたとき, 表と裏がそれぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るとする. この硬貨を投げる操作を繰り返し行い, \(3\) 回続けて表が出たときこの操作を終了する. 自然数 \(n\) に対し,
操作がちょうど \(n\) 回目で終了となる確率を \(P _ n\)
操作が \(n\) 回以上繰り返される確率を \(Q _ n\)
とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(P _ 3 , P _ 4 , P _ 5 , P _ 6 , P _ 7\) をそれぞれ求めよ.
(2) \(Q _ 6 , Q _ 7\) をそれぞれ求めよ.
(3) \(n \geqq 5\) のとき, \(Q _ n -Q _ {n-1}\) を \(Q _ {n-4}\) を用いて表せ.
(4) \(n \geqq 4\) のとき, \(Q _ n \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}\) が成り立つことを示せ.
【 解 答 】
(1)
表, 裏が出ることをそれぞれ○, ×で表すことにする.
\(3\) 回目で終了するのは, \(1\) 回目から「○○○」となるときなので
\[
P _ 3 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 = \underline{\dfrac{1}{8}}
\]
\(4\) 回目で終了するのは, \(1\) 回目から「×○○○」となるときなので
\[
P _ 4 = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 = \underline{\dfrac{1}{16}}
\]
\(5\) 回目で終了するのは, \(1\) 回目は関係なく, \(2\) 回目から「×○○○」となるときなので
\[
P _ 5 = 1 \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 = \underline{\dfrac{1}{16}}
\]
\(6\) 回目で終了するのは, \(1 , 2\) 回目は関係なく, \(3\) 回目から「×○○○」となるときなので
\[
P _ 6 = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 = \underline{\dfrac{1}{16}}
\]
\(7\) 回目で終了するのは, \(3\) 回目までに終了せず, \(4\) 回目から「×○○○」となるときなので
\[
P _ 7 = ( 1-P _ 3 ) \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 = \underline{\dfrac{7}{128}}
\]
(2)
\(n \geqq 4\) について \[ Q _ n = 1 -\textstyle\sum\limits _ {k=3}^{n-1} P _ k , \ Q _ n = Q _ {n-1} -P _ {n-1} \quad ... [1] \] が成立することを用いれば, \[\begin{align} Q _ 6 & = 1 -\left( P _ 3 +P _ 4 +P _ 5 \right) = 1 -\left( \dfrac{1}{8} +2 \cdot \dfrac{1}{16} \right) = \underline{\dfrac{3}{4}} , \\ Q _ 7 & = Q _ 6 -P _ 6 = \dfrac{3}{4} -\dfrac{1}{16} = \underline{\dfrac{11}{16}} \end{align}\]
(3)
[1] より, \(Q _ n -Q _ {n-1} = -P _ {n-1}\) .\(n-1\) 回目で終了するのは, \(n-5\) 回までに終了せず, \(n-4\) 回目から「×○○○」となるときなので \[ Q _ n -Q _ {n-1} = -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 Q _ {n-4} = \underline{-\dfrac{Q _ {n-4}}{16}} \]
(4)
\[
Q _ n \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}} \quad ... [\text{A}]
\]
が \(n \geqq 4\) について成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.
\(n = 4k+l \ ( k \geqq 1 , \ l = 0, 1, 2, 3 )\) と表して考える.
1* \(k = 1\) のとき
\(\dfrac{7^4 \cdot 4}{8^4 \cdot 3} = \dfrac{1372 \cdot 7}{1536 \cdot 8} \lt 1\) なので \[ Q _ 4 = 1-\dfrac{1}{8} =\dfrac{7}{8} \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{1}{4}} \] \(\dfrac{13^2 \cdot 4}{16^2 \cdot 3} = \dfrac{676}{768} \lt 1\) なので \[ Q _ 5 =\dfrac{7}{8} -\dfrac{1}{16} =\dfrac{13}{16} \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{1}{2}} \] さらに \[ Q _ 6 = \dfrac{3}{4} \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{3}{4}} , \ Q _ 7 = \dfrac{11}{16} \lt \dfrac{3}{4} \] なので, \(k = 1\) のとき, [A] は成立する.2* \(k = m \ ( m \geqq 1 )\) のとき
[A]が成立していると仮定すると, \(l = 1\) のとき, (3) の結果を用いて \[\begin{align} Q _ {4(k+1)+l} & -\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4(k+1)+l-3}{4}} \\ & = Q _ {4(k+1)+l-1} -\dfrac{1}{16} Q _ {4k+l} -\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4k+l+1}{4}} \\ & = \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4k+l}{4}} -\dfrac{1}{16} \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4k+l-3}{4}} -\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4k+l+1}{4}} \\ & = \left\{ \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{3}{4}} -\dfrac{1}{16} -\dfrac{3}{4} \right\} \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4k+l-3}{4}} \\ & \lt \left( \dfrac{3}{4} -\dfrac{13}{16} \right) \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4k+l-3}{4}} \lt 0 \\ \text{∴} \quad & Q _ {4(k+1)+l} \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{4(k+1)+l-3}{4}} \quad ... [2] \end{align}\] 同様にすれば, \(l = 2, 3, 4\) についても, 順次 [2] を示すことができるので, \(k = m+1\) のときも, [A] が成立する.
1* 2* より, 題意は示された.