\(a , b\) は \(a \geqq b \gt 0\) を満たす整数とし, \(x\) と \(y\) の \(2\) 次方程式 \(x^2+ax+b = 0\) , \(y^2+by+a = 0\) がそれぞれ整数解をもつとする.
(1) \(a = b\) とするとき, 条件を満たす整数 \(a\) をすべて求めよ.
(2) \(a \gt b\) とするとき, 条件を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(a = b\) のとき
\[
x^2+ax+a = 0
\]
この方程式の \(2\) つの整数解 \(\alpha , \beta\) とおくと, 解と係数の関係より
\[
\alpha +\beta =-a , \ \alpha \beta =a \quad ... [1]
\]
また, \(a \gt 0\) なので, \(\alpha \leqq \beta \leqq -1 \quad ... [2]\) とおいてよい.
[1] から \(a\) を消去すると
\[\begin{align}
\alpha +\beta +\alpha \beta & = 0 \\
( \alpha +1 )( \beta +1 ) & = 1 \\
\text{∴} \quad ( \alpha , \beta ) & = ( -2 , -2 ) \quad ( \ \text{∵} \ [2] \ )
\end{align}\]
よって
\[
a = (-2)(-2) = \underline{4}
\]
(2)
\(x^2+ax+b = 0\) の \(2\) つの整数解を \(\alpha , \beta\) , \(y^2+by+a = 0\) の \(2\) つの整数解を \(\gamma , \delta\) とおく.
解と係数の関係より
\[
\left\{ \begin{array}{ll} \alpha +\beta =-a , & \alpha \beta =b \\ \gamma +\delta =-b , & \gamma \delta =a \end{array} \right. \quad ... [3]
\]
また, \(a \gt b \gt 0\) なので, \(\alpha \leqq \beta \leqq -1 , \ \gamma \leqq \delta \leqq -1\) ...[4] としてよい.
[3] から \(a , b\) を消去すると
\[
\left\{ \begin{array}{l} \alpha +\beta +\gamma \delta =0 \\ \gamma +\delta +\alpha \beta=0 \end{array} \right.
\]
さらに辺々を加えると
\[\begin{align}
\alpha \beta +\alpha +\beta +\gamma \delta +\gamma +\delta & = 0 \\
\text{∴} \quad ( \alpha +1 )( \beta +1 ) +( \gamma +1 )( \delta +1 ) & = 2 \quad ... [5]
\end{align}\]
辺々を差引くと
\[\begin{align}
\alpha \beta -\alpha -\beta -\gamma \delta +\gamma +\delta & = 0 \\
\text{∴} \quad ( \alpha -1 )( \beta -1 ) = ( \gamma -1 )( \delta -1 ) & \quad ... [6]
\end{align}\]
[5] について, [3] [4] より,
\[
( \alpha +1 )( \beta +1 ) =a-b+1 \geqq 2 , \ ( \gamma +1 )( \delta +1 ) \geqq 0
\]
なので
\[\begin{align}
& \left\{ \begin{array}{l} ( \alpha +1 )( \beta +1 ) =2 \\ ( \gamma +1 )( \delta +1 )=0 \end{array} \right. \\
\text{∴} & \quad \alpha = -3 , \ \beta = -2 , \ \delta = -1 \quad ( \ \text{∵} \ [4] \ )
\end{align}\]
[6] に代入すれば
\[\begin{align}
(-4)(-3) & = ( \gamma -1)(-2) \\
\text{∴} \quad \gamma & = -5
\end{align}\]
以上より
\[
( a , b ) = \left( (-3)(-2) , (-5)(-1) \right) = \underline{( 6 , 5 )}
\]