自然数 \(n\) に対して, \(n\) のすべての正の約数（ \(1\) と \(n\) を含む）の和を \(S(n)\) とおく. 例えば, \(S(9) = 1 +3 +9 = 13\) である. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(n\) が異なる素数 \(p\) と \(q\) によって \(n = p^2 q\) と表されるとき, \(S(n) = 2n\) を満たす \(n\) をすべて求めよ.
(2) \(a\) を自然数とする. \(n = 2^a -1\) が \(S(n) = n+1\) を満たすとき, \(a\) は素数であることを示せ.
(3) \(a\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(n = 2^{a-1} \left( 2^a -1 \right)\) が \(S(n) \leqq 2n\) を満たすとき, \(n\) の \(1\) の位は \(6\) か \(8\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ ( 1 +p +p^2 ) ( 1+q ) = 2 p^2 q \quad ... [1] \ . \] \(p\) と \(p^2\) は奇偶が一致するので, \(1 +p +p^2\) は奇数であり, また \(p^2\) より大きいので, [1] から以下の \(2\) つの場合が考えられる.
1* \(1 +p +p^2 = q\) のとき
\[\begin{align} 1 +q & = 2p^2 \\ \text{∴} \quad q & = 2 p^2 -1 \ . \end{align}\] なので, [1] に代入して \[\begin{align} 1 +p +p^2 & = 2p^2 -1 \\ p^2 -p -2 & = 0 \\ ( p-2 ) ( p+1 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad p & = 2 \quad ( \ \text{∵} \ p \ \text{は素数} \ ) \ . \end{align}\] ゆえに \[ q = 1 +2 +2^2 = 7 \ . \] これは, 素数である.2* \(1 +p +p^2 = p^2 q\) のとき
\(1 +q = 2\) で, \(q\) が素数であることと矛盾するので, 不適.
よって, 求める \(n\) は \[ n = 2^2 \cdot 7 = \underline{28} \ . \]
(2)
\(S(n) = n+1\) となるのは, \(n\) が素数のときなので, 「\(n = 2^a -1\) が素数ならば, \(a\) は素数である」... [A] ことを示せばよい.
[A] の対偶を考えて, 「\(a\) が \(1\) か合成数ならば, \(n = 2^a -1\) も \(1\) か合成数である」... [A'] を示す.
1* \(a = 1\) のとき \[ n = 2^1 -1 = 1 \ . \]
2* \(a\) が合成数のとき
\(a = st\) （\(s , t\) は\(2\) 以上の整数 ... [2] ）と表せて \[\begin{align} n & = \left( 2^s \right)^t -1 \\ & = \underline{\left( 2^s -1 \right)} _ {[3]} \underline{\left\{ \left( 2^s \right)^{t-1} +\cdots +1 \right\}} _ {[4]} \ . \end{align}\] [2] より, \([3] \geqq 2\) , \([4] \geqq 2\) なので, \(n\) は合成数である.
以上より, [A'] が示されて, [A] が成立するので, 題意も示された.
(3)
\(N = 2^a -1\) とおけば
\[\begin{align}
S(n) & \geqq \left( 1 +\cdots +2^{a-1} \right) ( 1+N ) \\
& = \left( 2^a -1 \right) 2^a = 2n
\end{align}\]
なので, 条件をみたすのは \(S(n) = 2n\) のときで, このとき, \(N\) は素数である.
したがって (2) の結果から, \(a\) は素数である.
1* \(a = 2\) のとき \[ n = 2^1 ( 2^2 -1 ) = 6 \ . \] なので, \(1\) の位は \(6\) .
2* \(a\) が \(3\) 以上の素数のとき
\(a\) は奇数である.
\(2^a\) の \(1\) の位は, \(2 , 4 , 8 , 6\) を周期 \(4\) で繰り返すことに着目すると, \(a\) の \(4\) を法とする剰余で分類すると, 各数の \(1\) の位は, 下表のようになる. \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} a \ ( \mod 4 ) & 2^{a-1} & 2^a & 2^a-1 & n \\ \hline 1 & 6 & 2 & 1 & 6 \\ \hline 3 & 4 & 8 & 7 & 8 \end{array} \] したがって, \(n\) の \(1\) の位は \(6\) または \(8\) .
以上より, 題意は示された.