\(xyz\) 空間において連立不等式 \[ |x| \leqq 1 , \quad |y| \leqq 1 , \quad |z| \leqq 1 \] の表す領域を \(Q\) とし, 正の実数 \(r\) に対して \(x^2 +y^2 +z^2 \leqq r^2\) の表す領域を \(S\) とする. また, \(Q\) と \(S\) のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を \(R\) とし, \(R\) の体積を \(V(r)\) とする. さらに
\(x \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ x\)
\(y \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ y\)
\(z \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ z\)
とし,
\(S _ x \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 1\)
\(S _ x \cap S _ y \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 2\)
\(S _ x \cap S _ y \cap S _ z \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 3\)
とする. ただし, \(\emptyset\) は空集合を表す. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(r = \dfrac{\sqrt{10}}{3}\) のとき, \(R\) の \(xy\) 平面による断面を図示せよ.
(2) \(r _ 1 , r _ 2 , r _ 3\) および \(V( r _ 1 ) , V( r _ 3 )\) を求めよ.
(3) \(r \geqq r _ 1\) のとき, \(S _ x\) の体積を \(r\) を用いて表せ.
(4) \(0 \lt r \leqq r _ 2\) において, \(V(r)\) が最小となる \(r\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{10}}{3} \right)^2 -1 } = \dfrac{1}{3}\) なので, \(R\) の断面は下図斜線部.
(2)
\(r_1\) は, \(xy\) 平面による断面上で, \(S\) が \(Q\) に内接しているときなので
\[
r_1 = \underline{1} \ .
\]
\(r_2\) は, \(xy\) 平面による断面上で, \(S\) が \(Q\) に外接しているときなので
\[
r_2 = \underline{\sqrt{2}} \ .
\]
\(r_3\) は, 平面 \(z=y\) による断面上で, \(S\) が \(Q\) に外接しているときなので
\[
r_3 = \underline{\sqrt{3}} \ .
\]
したがって \[ V( r_1 ) = 2^3 -\dfrac{4}{3} \pi \cdot 1^3 = \underline{8 -\dfrac{4}{3} \pi} \ . \] また \[ V( r_3 ) = \dfrac{4}{3} \pi \cdot \left( \sqrt{3} \right)^3 -2^3 = \underline{4 \sqrt{3} \pi -8} \ . \]
(3)
求める体積を \(W\) とおく.
下図の斜線部を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させた立体の体積を求めればよいので
\[\begin{align} W & = \pi \displaystyle\int_{1}^{r} \left( r^2 -x^2 \right) \, dx \\ & = \pi \left[ r^2 x -\dfrac{x^3}{3} \right]_{1}^{r} \\ & = \pi \left\{ \dfrac{2 r^3}{3} -\left( r^2 -\dfrac{1}{3} \right) \right\} \\ & = \underline{\dfrac{\pi}{3} ( 2 r^3 -3 r^2 +1 )} \ . \end{align}\]
(4)
\(0 \lt r \leqq r_1\) においては, \(V(r)\) は単調減少するので, \(r_1 \lt r \leqq r_2\) において最小となる場合を考えればよい.
\(Q\) の内部で, \(S\) の外部にあたる部分の体積を \(U\) とおけば
\[
U = 2^3 -\left( \dfrac{4}{3} \pi r^3 -6 W \right) \ .
\]
なので
\[\begin{align}
V(r) & = 6W +U \\
& = 8 -\dfrac{4}{3} \pi r^3 +12W \\
& = 8 +4 \pi \underline{\left( \dfrac{5}{3} r^3 -3 r^2 +1 \right)} _ {[1]} \ .
\end{align}\]
下線部 [1] を \(f(r)\) とおいて, 最小となる場合を考えればよい.
\[
f'(r) = 5r^2 -6r = r ( 5r -6 ) \ .
\]
したがって, \(f(r)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} r & (1) & \cdots & \dfrac{6}{5} & \cdots & \sqrt{2} \\ \hline f'(r) & & - & 0 & + & \\ \hline f(r) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow & \end{array}
\]
よって, 求める値は
\[
r = \underline{\dfrac{6}{5}} \ .
\]