\(xyz\) 空間内の点 P \(( 1, 0, 1 )\) と, \(xy\) 平面上の円 \(C : \ x^2 +(y-2)^2 = 1\) に属する点 Q \(( \cos \theta , 2 +\sin \theta , 0 )\) を考える.
(1) 直線 PQ と平面 \(z = t\) の交点の座標を \(( \alpha , \beta , t )\) とするとき, \(\alpha^2 +\beta^2\) を \(t\) と \(\theta\) で表せ.
(2) 線分 PQ を \(z\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる曲面と平面 \(z = 0\) , \(z = 1\) によって囲まれる立体の体積を \(\theta\) で表せ.
(3) Q が \(C\) 上を一周するとき, (2) で求めた体積の最大値, 最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
点 \(( \alpha , \beta , t )\) は線分 QP を \(t : (1-t)\) に内分するので \[\begin{align} \alpha & = t \cdot 1 +(1-t) \cos \theta = t +(1-t) \cos \theta , \\ \beta & = t \cdot 0 +(1-t)( 2 +\sin \theta ) = (1-t)( 2 +\sin \theta ) \end{align}\] よって \[\begin{align} \alpha^2 & +\beta^2 \\ & = t^2 +2t(1-t) \cos \theta +(1-t)^2 \cos^2 \theta +(1-t)^2(2+\sin \theta)^2 \\ & = \underline{t^2 +2t(1-t) \cos \theta +(1-t)^2 ( 5 +4\sin \theta )} \end{align}\]
(2)
求める体積を \(V\) とおけば \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ 0^1 \left( \alpha^2 +\beta^2 \right) \, dt \\ & = \pi \displaystyle\int _ 0^1 t^2 \, dt +2 \pi \cos \theta \displaystyle\int _ 0^1 t(1-t) \, dt +\pi ( 5 +4 \sin \theta ) \displaystyle\int _ 0^1 t^2 \, dt \\ & =\dfrac{\pi}{3} +\dfrac{\pi \cos \theta}{3} +\dfrac{\pi ( 5 +4\sin \theta )}{3} \\ & =\underline{\dfrac{6 +4\sin \theta +\cos \theta}{3} \pi} \end{align}\]
(3)
\[\begin{gather} 4 \sin \theta +\cos \theta = \sqrt{17} \sin \left( \theta +\alpha \right) \\ \left( \ \text{ただし} \ \sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{17}} , \ \sin \alpha = \dfrac{4}{\sqrt{17}} \right) \end{gather}\] \(0 \leqq \theta \lt 2 \pi\) と動くとき \(-1 \leqq \sin \left( \theta +\alpha \right) \leqq 1\) なので, (2) の結果とあわせて, \(V\) について \[ \text{最大値} : \ \underline{\dfrac{6 +\sqrt{17}}{6} \pi} , \ \text{最小値} : \ \underline{\dfrac{6 -\sqrt{17}}{6} \pi} \]