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\(x\) の方程式 \(\left| \log _ {10} x \right| =px+q\) （ \(p,q\) は実数）が \(3\) つの相異なる正の解を持ち, 次の \(2\) つの条件を満たすとする.

1. (I)　\(3\) つの解の比は, \(1 : 2 : 3\) である.

2. (II)　\(3\) つの解のうち最小のものは, \(\dfrac{1}{2}\) より大きく, \(1\) より小さい.

このとき, \(A =\log _ {10} 2\) , \(B =\log _ {10} 3\) とおき, \(p\) と \(q\) を \(A\) と \(B\) を用いて表せ.

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【 解 答 】

最小の解を \(x = k \ \left( \dfrac{1}{2} \lt k \lt 1 \right)\) , \(C = \log _ {10} k\) とおくと \[\begin{align} -\log _ {10} k & = -C = pk+q \quad ... [1] , \\ \log _ {10} 2k & = A+C = 2pk+q \quad ... [2] , \\ \log _ {10} 3k & = B+C = 3pk+q \quad ... [3] \end{align}\] [1] より, \(pk = -q-C\) ... [4] .
[2] [3] に代入して \[\begin{align} -q-3C =A & , \ -2q-4C = B \\ \text{∴} \quad q = \underline{2A-\dfrac{3B}{2}} & , \ C = -A+\dfrac{B}{2} = \log _ {10} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{∴} \quad k & = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align}\] これは \(\dfrac{1}{2} \lt k \lt 1\) をみたしている.
[4] に代入して \[\begin{align} \dfrac{\sqrt{3}}{2} p & = -2A+\dfrac{3B}{2} +A -\dfrac{B}{2} \\ \text{∴} \quad p & = \underline{\dfrac{2 \sqrt{3}}{3} (-A+B)} \end{align}\]