曲線 \(C : \ y =\dfrac{1}{x+2} \ ( x \gt -2 )\) を考える. 曲線 \(C\) 上の点 \(P _ 1 \left( 0 , \dfrac{1}{2} \right)\) における接線を \(\ell _ 1\) とし, \(\ell _ 1\) と \(x\) 軸との交点を \(Q _ 1\) , 点 \(Q _ 1\) を通り \(x\) 軸と垂直な直線と曲線 \(C\) との交点を \(P _ 2\) とおく. 以下同様に, 自然数 \(n \ ( n \geqq 2 )\) に対して, 点 \(P _ n\) における接線を \(\ell _ n\) とし, \(\ell _ n\) と \(x\) 軸との交点を \(Q _ n\) , 点 \(Q _ n\) を通り \(x\) 軸と垂直な直線と曲線 \(C\) との交点を \(P _ {n+1}\) とおく.
(1) \(\ell _ 1\) の方程式を求めよ.
(2) \(P _ n\) の \(x\) 座標を \(x _ n \ ( n \geqq 1 )\) とする. \(x _ {n+1}\) を \(x _ n\) を用いて表し, \(x _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
(3) \(\ell _ n\) , \(x\) 軸, \(y\) 軸で囲まれる三角形の面積 \(S _ n\) を求め, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) の式より \[ y' = -\dfrac{1}{(x+2)^2} \] よって \[ \ell _ 1 : \ \underline{y =-\dfrac{x}{4} +\dfrac{1}{2}} \]
(2)
\[ \ell _ n : \ y = -\dfrac{x-x _ n}{(x _ n+2)^2} +\dfrac{1}{x _ n+2} \] \(y = 0\) を解くと \[\begin{gather} -\dfrac{x-x _ n}{x _ n+2}+1 = 0 \\ \text{∴} \quad x = 2x _ n+2 \end{gather}\] なので \[\begin{align} x _ {n+1} & = 2x _ n+2 \\ x _ {n+1}+2 & = 2(x _ n+2) \\ \text{∴} \quad x _ n+2 & = 2^{n-1} (x _ 1+2) = 2^n \end{align}\] よって \[ x _ n =\underline{2^n-2} \]
(3)
\(\ell _ n\) について, \(x\) 切片は \[ x _ {n+1} = 2(x _ n+1) \] また, \(y\) 切片は \[ \dfrac{x _ n}{(x _ n+2)^2} +\dfrac{1}{x _ n+2} = \dfrac{2 (x _ n+1)}{(x _ n+2)^2} \] したがって \[\begin{align} S _ n & = \dfrac{1}{2} \cdot 2(x _ n+1) \cdot \dfrac{2 (x _ n+1)}{(x _ n+2)^2} \\ & =\underline{\dfrac{( 2^n-1 )^2}{2^{2n-1}}} \\ & = 2 \left( 1 +\dfrac{1}{2^n} \right)^2 \\ & \rightarrow 2 \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n = \underline{2} \]