次の各問に答えよ.
問 1 \(xyz\) 空間の \(3\) 点 A \(( 1 , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , -1 , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , 2 )\) , を通る平面 \(\alpha\) に関して点 P \(( 1, 1, 1 )\) と対称な点 Q の座標を求めよ. ただし, 点 Q が平面 \(\alpha\) に関して P と対称であるとは, 線分 PQ の中点 M が平面 \(\alpha\) 上にあり, 直線 PM が P から平面 \(\alpha\) に下ろした垂線となることである.
問 2 赤玉, 白玉, 青玉, 黄玉が \(1\) 個ずつ入った袋がある. よくかきまぜた後に袋から玉を \(1\) 個取り出し, その玉の色を記録してから袋に戻す. この試行を繰り返すとき, \(n\) 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて \(4\) 種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ. ただし, \(n\) は \(4\) 以上の整数とする.
【 解 答 】
問 1
Q \(( X , Y , Z )\) とおく.
平面 \(\alpha\) の式は \(x -y +\dfrac{z}{2} = 1\) で, PQ の中点 M \(\left( \dfrac{X+1}{2} , \dfrac{Y+1}{2} , \dfrac{Z+1}{2} \right)\)は \(\alpha\) 上にあるので
\[\begin{align}
\dfrac{X+1}{2} -\dfrac{Y+1}{2} +\dfrac{Z+1}{4} & = 1 \\
2x +2 -2y -2 +z +1 & = 4 \\
\text{∴} \quad 2x -2y +z & = 3 \quad ... [1]
\end{align}\]
\(\text{PQ} \perp \alpha\) なので, \(\overrightarrow{\text{PQ}} \perp \overrightarrow{\text{AB}}\) , \(\overrightarrow{\text{PQ}} \perp \overrightarrow{\text{AC}}\) であるから
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{PQ}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} & = \left( \begin{array}{c} X-1 \\ Y-1\\ Z-1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1\\ 0 \end{array} \right) \\
& = -x +1 -y +1 = 0 \\
& \text{∴} \quad x +y = 2 \quad ... [2] \ , \\
\overrightarrow{\text{PQ}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} & = \left( \begin{array}{c} X-1 \\ Y-1\\ Z-1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \\
& = -X +1 +2Z -2 = 0 \\
& \text{∴} \quad X -2Z = -1 \quad ... [3]
\end{align}\]
[2] [3] より, \(Y = 2-X\) , \(Z = \dfrac{X+1}{2}\) で, [1] に代入して
\[\begin{align}
2X -4 +2X +\dfrac{X+1}{2} & = 3 \\
9X & = 13 \\
\text{∴} \quad X & = \dfrac{13}{9}
\end{align}\]
このとき
\[\begin{align}
Y & = 2 -\dfrac{13}{9} = \dfrac{5}{9} \\
Z & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{13}{9} +1 \right) = \dfrac{11}{9}
\end{align}\]
よって, Q の座標は
\[
\underline{\left( \dfrac{13}{9} , \dfrac{5}{9} , \dfrac{11}{9} \right)}
\]
問 2
\(n\) 回目までの玉の取り出し方は, \(4^n\) 通り.
\(n-1\) 回目までは, 他の \(3\) 色の玉がすべて出て, \(n\) 回目に初めて赤玉が出る場合の数を考える.
\(n-1\) 回目までの玉の取り出し方について
\(1\) 色だけ出る場合
色の選び方だけを考えて \[ 3 \ \text{通り} \]\(2\) 色だけ出る場合
色の選び方が \({} _ {3} \text{C}{} _ {2} = 3\) 通り, 玉の出方が \(2^{n-1}\) 通りあり, これには \(1\) 色だけ出る場合が含まれているので \[ 3 \left( 2^{n-1} -2 \right) = 3 \cdot 2^{n-1} -6 \ \text{通り} \]\(3\) 色出るとも場合
玉の出方が \(3^{n-1}\) 通りあり, これには \(2\) 色だけが出る場合, \(1\) 色だけが出る場合が含まれているので \[ 3^{n-1} -\left( 3 \cdot 2^{n-1} -6 \right) -3 = 3^{n-1} -3 \cdot 2^{n-1} +3 \ \text{通り} \]
よって, 求める確率は \[\begin{align} \underline{\dfrac{3^{n-1} -3 \cdot 2^{n-1} +3}{4^n}} \end{align}\]