曲線 \(y = \dfrac{1}{2} ( x^2 +1 )\) 上の点 P における接線は \(x\) 軸と交わるとし, その交点を Q とおく. 線分 PQ の長さを \(L\) とするとき, \(L\) が取りうる値の最小値を求めよ.
【 解 答 】
P の \(x\) 座標を \(t\) とおく.
曲線 \(y = \dfrac{1}{2} ( x^2 +1 )\) は \(y\) 軸について対称で, \(t=0\) のときに接線は \(x\) 軸と交わらないので, \(t \gt 0\) について考えればよい.
\(y' = x\) なので, PQ の式は
\[\begin{align}
y & = t ( x-t ) +\dfrac{1}{2} ( t^2 +1 ) \\
& = tx -\dfrac{1}{2} ( t^2 -1 )
\end{align}\]
\(y = 0\) とすれば
\[\begin{align}
tx & = \dfrac{1}{2} ( t^2 -1 ) \\
\text{∴} \quad x & = \dfrac{t^2 -1}{2t}
\end{align}\]
ゆえに, Q \(\left( \dfrac{t^2 -1}{2t} , 0 \right)\) であり
\[\begin{align}
L^2 & = \left( t -\dfrac{t^2 -1}{2t} \right)^2 +\left( \dfrac{t^2 +1}{2} \right)^2 \\
& = \dfrac{( t^2 +1 )^2}{4 t^2} +\dfrac{( t^2 +1 )^2}{4} \\
& = \dfrac{1}{4} \cdot \underline{\dfrac{( t^2 +1 )^3}{t^2}} _ {[1]}
\end{align}\]
[1] について, \(s = t^2 ( \gt 0 )\) とおいて \(f(s) = \dfrac{(s+1)^3}{s}\) とおけば
\[\begin{align}
f'(s) & = \dfrac{3 (s+1)^2 s -(s+1)^3}{s^2} \\
& = \dfrac{(s+1)^2 ( 2s -1 )}{s^2}
\end{align}\]
したがって, \(f(s)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} s & (0) & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots \\ \hline f'(s) & & - & 0 & + \\ \hline f(s) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array}
\]
よって, \(L\) は \(s = \dfrac{1}{2}\) のときに最小となり, その値は
\[
\sqrt{\dfrac{1}{4} f \left( \dfrac{1}{2} \right)} = \sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot 2 \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^3} = \underline{\dfrac{3 \sqrt{3}}{4}}
\]