\(xy\) 平面において, \(2\) 点 B \(( -\sqrt{3} , -1 )\) , C \(( \sqrt{3} , -1 )\) に対し, 点 A は次の条件 (＊) を満たすとする.
- (＊) \(\angle \text{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\) かつ点 A の \(y\) 座標は正.
次の各問に答えよ.
(1) \(\triangle \text{ABC}\) の外心の座標を求めよ.
(2) 点 A が条件 (＊) を満たしながら動くとき, \(\triangle \text{ABC}\) の垂心の軌跡を求めよ.
【 解 答 】
(1)
外接円の半径を \(R\) とすれば, 正弦定理より
\[\begin{gather}
\dfrac{\text{BC}}{\sin \angle \text{BAC}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \\
\text{∴} \quad R = 2
\end{gather}\]
外心は, BC の垂直二等分線である \(y\) 軸上にあり, B , C からの距離が \(2\) である点は, \(( 0 , 0 )\) , \(( 0 , -2 )\) .
したがって, 外接円の候補は, \(x^2 +y^2 = 4\) , \(x^2 +(y+2)^2 = 4\) の \(2\) つがあるが, A の \(y\) 座標が正となりうるのは, 前者のみ.
よって, 求める座標は
\[
\underline{( 0 , 0 )}
\]
(2)
A \(( p , q )\) とおくと, A の動く範囲は \[ p^2 +q^2 = 4 \quad ( q \gt 0 ) \quad ... [1] \] 垂心 H \(( X , Y )\) とおくと, \(\text{AH} \perp \text{BC}\) なので \[ p = X \quad ... [2] \] また, \(\text{BH} \perp \text{AC}\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{CA}} = \left( \begin{array}{c} X +\sqrt{3} \\ Y+1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} p -\sqrt{3} \\ q+1 \end{array} \right) & = 0 \\ \left( p +\sqrt{3} \right) \left( p -\sqrt{3} \right) +(Y+1) (q+1) & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ [2] \ ) \\ -q^2 +1 +(Y+1) (q+1) & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \text{より}\ p^2 = 4 -q^2 \ ) \\ ( q+1 ) ( 2 -q +Y ) & = 0 \end{align}\] \(q+1 \neq 0\) なので \[ q = Y+2 \quad ... [3] \] [1] に [2] [3] を代入して \[ X^2 +(Y+2)^2 = 4 \quad ( Y \gt -2 ) \] よって, 求める軌跡は \[ \underline{\text{半円} \ : \ x^2 +(y+2)^2 = 4 \quad ( y \gt -2 )} \]