次の各問に答えよ.
問 1 \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(3^n -2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.
問 2 \(a\) を \(1\) より大きい定数とする. 微分可能な関数 \(f(x)\) が \(f(a) = a f(1)\) を満たすとき, 曲線 \(y = f(x)\) の接線で原点 \(( 0 , 0 )\) を通るものが存在することを示せ.
【 解 答 】
問 1
対偶をとって, 「 \(n\) が合成数ならば, \(3^n -2^n\) も合成数である. 」... [A] を示せばよい.
\(n = ab\) （ \(a , b\) は \(2\) 以上の整数）と表せて
\[\begin{align}
3^n -2^n & = \left( 3^a \right)^b -\left( 2^a \right)^b \\
& = \underline{\left( 3^a -2^a \right)} _ {[1]} \underline{\left( 3^{a(b-1)} +3^{a(b-2)} \cdot 2^a +\cdots +2^{a(b-1)} \right)} _ {[2]}
\end{align}\]
[1] [2] ともに \(2\) 以上の整数なので, \(3^n -2^n\) も合成数である.
よって, [A] が示され, 題意も示された.
問 2
\(x\) 座標が \(t\) である点での接線の式は
\[
y = f'(t) (x-t) +f(t)
\]
これが原点を通るならば
\[\begin{align}
0 & = -t f'(t) +f(t) \\
\text{∴} \quad f(t) & = t f'(t) \quad ... [1]
\end{align}\]
したがって, [1] をみたす \(t\) の存在を示せばよい.
\(g(x) = \dfrac{g(x)}{x} \ (x \neq 0)\) とおくと, これは定義域で微分可能な関数であり
\[
g'(x) = \dfrac{x f'(x) -f(x)}{x^2} \quad ... [2]
\]
平均値の定理より, \(1 \leqq c \leqq a\) かつ
\[\begin{align}
g'(c) & = \dfrac{g(a) -g(1)}{a-1} \\
& = \dfrac{f(a) -a f(1)}{a (a-1)} \\
& = 0 \quad ( \text{∵} \ f(a) = a f(1) )
\end{align}\]
をみたす \(c\) が存在する.
[2] を代入すれば
\[\begin{align}
\dfrac{c f'(c) -f(c)}{c^2} & = 0 \\
\text{∴} \quad f(c) & = c f'(c)
\end{align}\]
よって, \(t=c\) が [1] をみたすので, 題意は示された.