\(2\) 行 \(2\) 列の行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を考える. \(a , b , d\) が実数で \(c = 0\) である行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)\) を上三角行列という. また, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とおく.
(1) \(A^2 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.
(2) \(A^3 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.
(3) 上三角行列 \(A\) が \(A^4 = E\) をみたすとき, \(A^2 = E\) となることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} A^2 & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} a^2 & b(a+d) \\ 0 & d^2 \end{array} \right) \ . \end{align}\] \(A^2 = E\) なので, 成分を比較すれば \[ \left\{ \begin{array}{l} a^2 = d^2 = 1 \quad ... [1] \\ b(a+d) = 0 \quad ... [2] \end{array} \right. \ . \] [2] より \[ b = 0 \ \text{または} \ a+d = 0 \ . \]
1* \(b = 0\) のとき
[1] より \[ a = \pm 1 , \ d = \pm 1 \ . \]2* \(a+d = 0\) のとき
[1] より \[ (a,d) = ( \pm 1 , \mp 1 ) \quad ( \text{複号同順} ) \ . \]
以上より, 求める \(A\) は \[\begin{align} A = & \underline{\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right) \quad ( \text{複号任意} ) , }\\ & \underline{\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & k \\ 0 & \mp 1 \end{array} \right) \quad ( \text{複号同順} , \ k \text{は任意の実数} )} \ . \end{align}\]
(2)
\[\begin{align} A^3 & = \left( \begin{array}{cc} a^2 & b(a+d) \\ 0 & d^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} a^3 & b( a^2+ad+d^2 ) \\ 0 & d^3 \end{array} \right) \ . \end{align}\] \(A^3 = E\) なので, 成分を比較すれば \[ \left\{ \begin{array}{l} a^3 = d^3 = 1 \quad ... [3] \\ b(a^2+ad+d^2) = 0 \quad ... [4] \end{array} \right. \ . \] \(a ,d\) は実数なので, [3] より \[ a=d=1 \ . \] [4] に代入して \[\begin{align} 3b & = 0 \\ \text{∴} \quad b & = 0 \ . \end{align}\] よって求める \(A\) は \[ A = \underline{\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)} \ . \]
(3)
\[\begin{align}
A^4 & = \left( \begin{array}{cc} a^3 & b( a^2+ad+d^2 ) \\ 0 & d^3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{cc} a^4 & b( a^3+a^2d+ad^2+d^3 ) \\ 0 & d^4 \end{array} \right) \ .
\end{align}\]
\(A^4 = E\) なので, 成分を比較すれば
\[
\left\{ \begin{array}{l} a^4 = d^4 = 1 \quad ... [5] \\ b( a^3+a^2d+ad^2+d^3 ) = 0 \quad ...[6] \end{array} \right. \ .
\]
\(a ,d\) は実数なので, [5] より
\[
a^2 = d^2 = 1 \quad ... [7] \ .
\]
[7] を [6] に代入すると
\[\begin{align}
b ( a+d+a+d ) & = 0 \\
\text{∴} \quad b(a+d) & = 0 \quad ... [8] \ .
\end{align}\]
[7] かつ [8] は, [1] かつ [2] と等しい.
よって, \(A^4 = E\) をみたす \(A\) は, (1) の結果と等しく, すなわち \(A^2 = E\) をみたす.