(1) 関数 \(f(x) = 2x^3-3x^2+1\) のグラフをかけ.
(2) 方程式 \(f(x) = a\) （ \(a\) は実数）が相異なる \(3\) つの実数解 \(\alpha \lt \beta \lt \gamma\) を持つとする. \(\ell = \gamma -\alpha\) を \(\beta\) のみを用いて表せ.
(3) (2) の条件のもとで変化するとき \(\ell\) の動く範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ f'(x) = 6x^2 -6x = 6x(x-1) \ . \] \(f'(x)=0\) をとくと \[ x = 0 , 1 \ . \] したがって, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array} \ . \] よって, \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.
(2)
\(y = f(x)\) のグラフの形から, \(f(x) = a\) が相異なる \(3\) つの実数解をもつのは \[ 0 \lt a \lt 1 \quad ... [1] \ . \] の範囲であり \[ -\dfrac{1}{2} \lt \alpha \lt 0 \lt \beta \lt 1 \lt \gamma \lt \dfrac{3}{2} \quad ... [2] \ . \] \(f(x)= a\) を変形すると \[ 2x^3 -3x^2 -a+1 = 0 \ . \] なので, 解と係数の関係より \[\begin{align} \alpha +\beta +\gamma & = \dfrac{3}{2} \quad ... [3] , \\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha & = 0 \quad ... [4] \ . \end{align}\] [3] より \[ \alpha +\gamma = \dfrac{3}{2} -\beta \ . \] これを [4] に代入すると \[\begin{align} \alpha \gamma & +\beta \left( \dfrac{3}{2} -\beta \right) = 0 \\ \text{∴} \quad \alpha \gamma & = -\beta \left( \dfrac{3}{2} -\beta \right) \ . \end{align}\] これらを用いれば \[\begin{align} \ell & = \sqrt{( \alpha +\gamma )^2 -4 \alpha \gamma} \\ & = \sqrt{\left( \dfrac{3}{2} -\beta \right)^2 +4 \beta \left( \dfrac{3}{2} -\beta \right)} \\ & = \sqrt{-3 \beta^2 +3 \beta +\dfrac{9}{4}} \\ & = \underline{\dfrac{1}{2} \sqrt{3 ( 3+ 4 \beta -4 \beta^2 )}} \ . \end{align}\]
(3)
[2] より, \(0 \lt \beta \lt 1\) であり \[ \ell = \sqrt{-3 \left( \beta -\dfrac{1}{2} \right)^2 +3} \ . \] なので, \(\ell\) の取りうる値の範囲は \[ \underline{\dfrac{3}{2} \lt \ell \leqq \sqrt{3}} \ . \]