原点 O \((0,0)\) を中心とする半径 \(1\) の円に, 円外の点 P \(( x _ 0 , y _ 0 )\) から \(2\) 本の接線を引く.
(1) \(2\) つの接点の中点を Q とするとき, 点 Q の座標 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) を点 P の座標 \(( x _ 0 , y _ 0 )\) を用いて表せ. また \(\text{OP} \cdot \text{OQ} = 1\) であることを示せ.
(2) 点 P が直線 \(x+y = 2\) 上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(2\) つの接点を A \((a,b)\) , B \((c,d)\) とおくと
\[
\text{Q} \ \left( \dfrac{a+c}{2} , \dfrac{b+d}{2} \right) \ .
\]
また
\[
\text{PA} : \ ax+by = 1 , \ \text{PB} : \ cx+dy = 1 \ .
\]
ともに P \(( x _ 0 , y _ 0 )\) を通るので
\[
a x _ 0 +b y _ 0 = 1 , \ c x _ 0 +d y _ 0 = 1 \ .
\]
これは直線 \(x _ 0 x +y _ 0 y = 1\) が \(2\) 点 A , B を通ることを表す.
したがって
\[
\text{AB} : \ x _ 0 x +y _ 0 y = 1 \quad ... [1] \ .
\]
これと, 円 \(x^2+y^2 = 1 \quad ... [2]\) の交点が点 A , B であるので, [1] [2] より, \(y\) を消去すると
\[\begin{align}
{y _ 0}^2 x^2 +( 1 -x _ 0 x )^2 & = {y _ 0}^2 \\
\text{∴} \quad ( {x _ 0}^2 +{y _ 0}^2 ) x^2 -2 x _ 0 x +1 -{y _ 0}^2 & = 0 \ .
\end{align}\]
この方程式の \(2\) つの解が \(a , c\) なので, 解と係数の関係より
\[
a+c = \dfrac{2 x _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} \ .
\]
ゆえに
\[
x _ 1 = \dfrac{a+c}{2} = \dfrac{x _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} \ .
\]
同様に, [1] [2] から \(y\) を消去すれば,
\[\begin{align}
( 1 -y _ 0 y )^2 +{x _ 0}^2 y^2 & = {x _ 0}^2 \\
\text{∴} \quad ( {x _ 0}^2 +{y _ 0}^2 ) x^2 -2 y _ 0 y +1 -{x _ 0}^2 & = 0 \ .
\end{align}\]
この方程式の \(2\) つの解が \(b , d\) なので, 解と係数の関係より
\[
b+d = \dfrac{2 y _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} \ .
\]
ゆえに
\[
y _ 1 = \dfrac{b+d}{2} = \dfrac{y _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} \ .
\]
よって, Q の座標は
\[
\underline{\left( \dfrac{x _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} , \dfrac{y _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} \right)} \ .
\]
また
\[
\overrightarrow{\text{OQ}} = \dfrac{1}{\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2} \overrightarrow{\text{OP}} \quad ... [3] \ .
\]
なので
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| & = \dfrac{1}{\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|} \\
\text{∴} \quad \left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| & = 1 \ .
\end{align}\]
(2)
(1) の結果より
\[\begin{align}
x _ 1 = \dfrac{x _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} & , \ y _ 1 = \dfrac{y _ 0}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} , \\
{x _ 1}^2 +{y _ 1}^2 & = \dfrac{1}{{x _ 0}^2 +{y _ 0}^2} \quad ... [4] \ .
\end{align}\]
したがって
\[
x _ 0 = \dfrac{x _ 1}{{x _ 1}^2 +{y _ 1}^2} , \ y _ 0 = \dfrac{y _ 1}{{x _ 1}^2 +{y _ 1}^2} \quad ... [5] \ .
\]
ただし, [4] より, \({x _ 1}^2 +{y _ 1}^2 \neq 0\) すなわち \(( x _ 1 , y _ 1 ) \neq (0,0)\) .
[5] を \(x _ 0 +y _ 0 = 2\) に代入すれば
\[\begin{align}
x _ 1 + y _ 1 = 2 \left( {x _ 1}^2 +{y _ 1}^2 \right) & \\
{x _ 1}^2 -\dfrac{1}{2} x _ 1 +{y _ 1}^2 -\dfrac{1}{2} y _ 1 = 0 \\
\text{∴} \quad \left( x _ 1 -\dfrac{1}{4} \right)^2 +\left( y _ 1 -\dfrac{1}{4} \right)^2 & = \dfrac{1}{8} \ .
\end{align}\]
よって, Q の軌跡は
\[
\underline{\text{円} : \ \left( x -\dfrac{1}{4} \right)^2 +\left( y -\dfrac{1}{4} \right)^2 = \dfrac{1}{8} \quad ( \text{ただし, 原点は除く} )} \ .
\]