\(a , b , c\) を実数として \(f(x) = x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +2\) とする. 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)\) と単位行列 \(E\) に対して, \(A^4 +aA^3 +bA^2 +cA +2E = O\) （ただし \(O\) は零行列）とする.

1. (1)　\(b , c\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　方程式 \(f(x) = 0\) が少なくとも \(1\) つ正の解を持つとき, \(a\) のとりうる値の範囲を求めよ.

【 解 答 】

(1)

ケーリー・ハミルトンの定理より \[\begin{align} A^2 -(-2) A +\left\{ -1 \cdot (-1) -1 \cdot (-1) \right\} E & = O \\ \text{∴} \quad A^2 -2A +2E & = O \quad ... [1] \end{align}\] ここで \[\begin{align} f(A) & = \left\{ A^2 +(a-2) A +(b-2a+2) E \right\} (A^2 -2A +2E) \\ & \qquad + (2a-2b+c) A +(4a-2b-2) E \end{align}\] [1] より, \(f(A) = O\) であり, \(A \neq k E\) （ \(k\) は実数）なので \[\begin{gather} 2a-2b+c =0 , \ 4a-2b-2 =0 \\ \text{∴} \quad b= \underline{2a-1} , \ c= \underline{2a-2} \end{gather}\]

(2)

(1) の結果より \[ f(x) = (x^2+2x+2) \left\{ x^2+(a-2)x+1 \right\} \] \(x^2+2x+2 =(x+1)^2+1 \gt 0\) なので, \(g(x) = x^2-(a-2)x+1 = 0\) が少なくとも \(1\) つの正の解を持つ条件を求めればよい.
\(g(0) \gt 0\) なので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} D & = (a-2)^2 -4 = a(a-4) \geqq 0 \\ \text{∴} \quad a & \leqq 0 , 4 \leqq a \quad ... [2] \end{align}\] また, 軸の位置について \[\begin{align} -\dfrac{a-2}{2} & \gt 0 \\ \text{∴} \quad a & \lt 2 \quad ... [3] \end{align}\] よって, [2] [3] より \[ \underline{a \leqq 0} \]