袋 A の中に赤玉と白玉がそれぞれ \(4\) つ入っていることと, 袋 B の中に赤玉 \(3\) つと白玉 \(2\) つが入っていることがわかっている.
(1) 袋 B から \(2\) つの玉を取り出すとき, 取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.
(2) 袋 A から \(3\) つの玉を取り出し, そのあと袋 B から \(2\) つの玉を取り出す. その \(5\) つの玉のうち赤玉が \(3\) つである確率を求めよ.
(3) 袋 A から \(3\) つの玉を取り出したあとで, \(2\) つの玉を袋 A から取り出すかあるいは \(2\) つの玉を袋 B から取り出すかのどちらかを選択できるとする. できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき, 最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
赤玉が \(2\) 個取り出される確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{3}{10} \] 赤玉が \(1\) 個取り出される確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ {1} \cdot {} _ {2} \text{C} {} _ {1}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{3}{5} \] 赤玉が取り出されない確率は \[ \dfrac{{} _ {2} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{1}{10} \] よって, 求める期待値は \[ 2 \cdot \dfrac{3}{10} +1 \cdot \dfrac{3}{5}+0 \cdot \dfrac{1}{10} = \underline{\dfrac{6}{5}} \]
(2)
1* Aから \(3\) 個, Bから \(0\) 個取り出されるとき \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {3}}{{} _ {8} \text{C} {} _ {3}} \cdot \dfrac{{} _ {2} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{4}{56 \cdot 10} = \dfrac{1}{140} \]
2* Aから \(2\) 個, Bから \(1\) 個取り出されるとき \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {2} \cdot {} _ {4} \text{C} {} _ {1}}{{} _ {8} \text{C} {} _ {3}} \cdot \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ {1} \cdot {} _ {2} \text{C} {} _ {1}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{24 \cdot 6}{56 \cdot 10} = \dfrac{9}{35} \]
3* Aから \(1\) 個, Bから \(2\) 個取り出されるとき \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {1} \cdot {} _ {4} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {8} \text{C} {} _ {3}} \cdot \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{24 \cdot 3}{56 \cdot 10} = \dfrac{9}{70} \]
したがって, 求める確率は \[ \dfrac{1}{140} +\dfrac{9}{35} +\dfrac{9}{70} = \underline{\dfrac{11}{28}} \]
(3)
A から \(3\) つの玉を取り出した結果に応じて, 場合分けして考える.
1* A から \(3\) 個の赤玉が取り出される確率は \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {3}}{{} _ {8} \text{C} {} _ {3}} = \dfrac{1}{14} \] この後, A には赤玉 \(1\) 個と白玉 \(4\) 個が入っているので, B と比べれば, B から取り出すほうが有利である.
2* A から \(2\) 個の赤玉が取り出される確率は \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {2} \cdot {} _ {4} \text{C} {} _ {1}}{{} _ {8} \text{C} {} _ {3}} = \dfrac{3}{7} \] この後, A には赤玉 \(2\) 個と白玉 \(3\) 個が入っているので, B と比べれば, B から取り出すほうが有利である.
3* A から \(1\) 個の赤玉が取り出される確率は \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {1} \cdot {} _ {4} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {8} \text{C} {} _ {3}} = \dfrac{3}{7} \] この後, A には赤玉 \(3\) 個と白玉 \(2\) 個が入っているので, B と比べれば, A , B どちらから取り出してもよい.
4* A から赤玉が取り出されない確率は \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {3}}{{} _ {8} \text{C} {} _ {3}} = \dfrac{1}{14} \] この後, A には赤玉 \(4\) 個と白玉 \(1\) 個が入っているので, B と比べれば, A から取り出すほうが有利である.
このときの赤玉の期待値は \[ 2 \cdot \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} +1 \cdot \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ {1} \cdot {} _ {1} \text{C} {} _ {1}}{{} _ {5} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{8}{5} \]
以上より, 求める期待値は \[\begin{align} \dfrac{1}{14} \left( 3 +\dfrac{6}{5} \right) & +\dfrac{3}{7} \left( 2 +\dfrac{6}{5} \right) +\dfrac{3}{7} \left( 1 +\dfrac{6}{5} \right) +\dfrac{1}{14} \left( 0 +\dfrac{8}{5} \right) \\ & = \dfrac{21+96+66+8}{70} = \underline{\dfrac{191}{70}} \end{align}\]