さいころを投げると, \(1\) から \(6\) までの整数の目が等しい確率で出るとする. さいころを \(n\) 回（ \(n=1, 2, 3, \cdots\) ）投げるとき, 出る目の積の一の位が \(j \ ( j = 0, 1, 2, \cdots , 9 )\) となる確率を \(p _ n(j)\) とする.
(1) \(p _ 2(0) , p _ 2(1) , p _ 2(2)\) を求めよ.
(2) \(p _ {n+1}(1)\) を, \(p _ n(1)\) と \(p _ n(7)\) を用いて表せ.
(3) \(p _ n(1)+p _ n(3)+p _ n(7)+p _ n(9)\) を求めよ.
(4) \(p _ n(5)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(1\) の位が \(0\) となるのは, \(5\) と偶数が出ればよいので \[ p _ 2(0) = 2 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \underline{\dfrac{1}{6}} \] \(1\) の位が \(1\) となるのは, \(1\) が \(2\) 回出ればよいので \[ p _ 2(1) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \underline{\dfrac{1}{36}} \] \(1\) の位が \(2\) となるのは, \(1\) と \(2\) , \(2\) と \(6\) , \(3\) と \(4\) が出ればよいので \[ p _ 2(2) = 3 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \underline{\dfrac{1}{6}} \]
(2)
\(n+1\) 回目で \(1\) の位が \(1\) となるのは, 以下の場合である.
\(n\) 回目で \(1\) の位が \(1\) で, \(n+1\) 回目で \(1\) が出る.
\(n\) 回目で \(7\) の位が \(1\) で, \(n+1\) 回目で \(3\) が出る.
よって \[ p _ {n+1}(1) = \underline{\dfrac{1}{6}p _ n(1) +\dfrac{1}{6}p _ n(7)} \]
(3)
「 偶数が \(1\) 回でも出れば, \(1\) の位は偶数になる. 」 ... [1] また, 「 偶数が出ずに, \(5\) が \(1\) 回でも出れば, \(1\) の位は \(5\) となる. 」 ... [2] 以上より, \(1\) と \(3\) のみが出ればよいので \[ p _ n(1)+p _ n(3)+p _ n(7)+p _ n(9) = \underline{\left( \dfrac{1}{3} \right)^n} \]
(4)
[1] [2] より \[ p _ n(5) = \underline{\left( \dfrac{1}{2} \right)^n -\left( \dfrac{1}{3} \right)^n} \]