座標空間に \(8\) 点 \[\begin{align} & \text{O} \ (0,0,0) , \quad \text{P} \ (1,0,0) , \quad \text{Q} \ (1,1,0) , \quad \text{R} \ (0,1,0) , \\ & \text{A} \ (0,0,1) , \quad \text{B} \ (1,0,1) , \quad \text{C} \ (1,1,1) , \quad \text{D} \ (0,1,1) \end{align}\] をとり, 線分 BC の中点を M とする. 線分 RD 上の点を N \((0,1,t)\) とし, \(3\) 点 O , M , N を通る平面と線分 PD および線分 PB との交点をそれぞれ K , L とする.
(1) K の座標を \(t\) で表せ.
(2) 四面体 OKLP の体積を \(V(t)\) とする. N が線分 RD 上を R から D まで動くとき, \(V(t)\) の最大値と最小値およびそれらを与える \(t\) の値をそれぞれ求めよ.
【 解 答 】
(1)
O , M , N を通る平面を \(\alpha\) とおく.
点 K は \(\alpha\) 上にあるので, 実数 \(u , v\) を用いて
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OK}} & = u \overrightarrow{\text{OM}} +v \overrightarrow{\text{ON}} \\
& = u \left( \begin{array}{c} 1 \\ \dfrac{1}{2} \\ 1 \end{array} \right) +v \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ t
\end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{c} u \\ \dfrac{u}{2} +v \\ u+tv \end{array} \right) \quad ... [1]
\end{align}\]
と表せる.
また, 点 K は線分 PD 上にあるので, 実数 \(s \ ( 0 \leqq s \leqq 1 )\) を用いて
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OK}} & = (1-s) \overrightarrow{\text{OP}} +s \overrightarrow{\text{OD}} \\
& = (1-s) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) +s \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{c} 1-s \\ s \\ s \end{array} \right) \quad ... [2]
\end{align}\]
と表せる.
[1] [2] より
\[
u = 1-s , \ \dfrac{u}{2} +v = s , \ u+tv = s
\]
これを解くと
\[
u = \dfrac{2 (1-t)}{4-3t} , \ v = \dfrac{1}{4-3t} , \ s = \dfrac{2-t}{4-3t}
\]
ここで \(0 \leqq t \leqq 1\) なので, \(0 \leqq s \leqq 1\) を満たしている.
よって
\[
\text{K} \ \underline{\left( \dfrac{2 (1-t)}{4-3t} , \dfrac{2-t}{4-3t} , \dfrac{2-t}{4-3t} \right)}
\]
(2)
点 L は \(\alpha\) 上にあるので, (1) と同様に
\[
\overrightarrow{\text{OL}} = \left( \begin{array}{c} u \\ \dfrac{u}{2} +v \\ u+tv \end{array} \right) \quad ... [3]
\]
と表せる.
また, 点 L は線分 PA 上にあるので, 実数 \(\ell\) （ \(0 \leqq \ell \leqq 1\) ）を用いて
\[
\overrightarrow{\text{OL}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \ell \end{array} \right) \quad ... [4]
\]
と表せる.
[3] [4] より
\[
u = 1 , \ \dfrac{u}{2} +v =0 , \ u+tv = \ell
\]
これを解くと
\[
u = 1 , \ v= -\dfrac{1}{2} , \ \ell = \dfrac{2-t}{2}
\]
したがって
\[
\text{L} \ \left( 1 , 0 , \dfrac{2-t}{2} \right)
\]
四面体 OKLP について, △OPL を底面とみなせば
\[\begin{align}
V(t) & = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{2-t}{2} \right) \cdot \dfrac{2-t}{4-3t} \\
& = \dfrac{1}{12} \cdot \underline{\dfrac{(2-t)^2}{4-3t}} _ {[\text{A}]}
\end{align}\]
[A] を \(f(t)\) とおいて, \(0 \leqq t \leqq 1\) における増減を調べればよい.
\[\begin{align}
f'(t) & = \dfrac{-2(2-t)(4-3t) +3(2-t)^2}{(4-3t)^2} \\
& = \dfrac{(3t-2)(2-t)}{(4-3t)^2}
\end{align}\]
したがって, \(0 \leqq t \leqq 1\) における \(f(t)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline f(t) & 1 & \searrow & \dfrac{8}{9} & \nearrow & 1 \end{array}
\]
よって, \(V(t)\) について
\(t = \underline{\dfrac{2}{3}}\) のとき, 最小値 \(\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{8}{9} =\underline{\dfrac{2}{27}}\)
\(t = \underline{0 , 1}\) のとき, 最大値 \(\dfrac{1}{12} \cdot 1 =\underline{\dfrac{1}{12}}\)