関数 \(f(x) = (x^2-x) e^{-x}\) について, 次の問いに答えよ. 必要ならば, 任意の自然数 \(n\) に対して \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow + \infty} x^n e^{-x} = 0 \] が成り立つことを用いてもよい.

1. (1)　\(y = f(x)\) のグラフの変曲点を求め, グラフの概形をかけ.

2. (2)　\(a \gt 0\) とする. 点 \((0,a)\) を通る \(y=f(x)\) のグラフの接線が \(1\) 本だけ存在するような \(a\) の値を求めよ. また, \(a\) がその値をとるとき, \(y=f(x)\) のグラフ, その接線および \(y\) 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} f'(x) & = (2x-1) e^{-x} -(x^2-x) e^{-x} \\ & = -(x^2-3x+1) e^{-x} \\ & = -\left( x -\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right) \left( x -\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right) e^{-x} , \\ f''(x) & = -(2x-3) e^{-x} +(x^2-3x+1) e^{-x} \\ & = (x^2-5x+4) e^{-x} \\ & = (x-1)(x-4) e^{-x} \end{align}\] また \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -\infty} f(x) = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} (t^2+t) e^t = \infty \] \(x \gt 0\) において, \(0 \lt f(x) \lt x^2 e^{-x}\) であり \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} x^2 e^{-x} = 0 \] なので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \] 以上より, \(f(x)\) の増減と凹凸は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccccccc} x & ( -\infty ) & \cdots & \frac{3-\sqrt{5}}{2} & \cdots & 1 & \cdots & \frac{3+\sqrt{5}}{2} & \cdots & 4 & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & & + & 0 & - & & - & \\ \hline f''(x) & & + & & + & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & ( \infty ) & \searrow ( \cup ) & \text{極小} & \nearrow ( \cup ) & 0 & \nearrow ( \cap ) & \text{極大} & \searrow ( \cap ) & \frac{12}{e^4} & \searrow ( \cup ) & (0) \end{array} \] よって, \(y = f(x)\) の変曲点は \[ \underline{(1,0) , \left( 4 , \dfrac{12}{e^4} \right)} \] であり, グラフの概形は下図のようになる.

(2)

\(y = f(x)\) の \(x\) 座標が \(p\) である点における接線の方程式は \[\begin{align} y & = (x-p) f'(p) +f(p) \\ & = -(x-p)(p^2-3p+1) e^{-p} +(p^2-p) p^{-p} \\ & = -(p^2-3p+1) e^{-p} x +p^2 (p-2) e^{-p} \end{align}\] これが点 \((0,a) \ ( a \gt 0 )\) を通るとき \[ a= p^2 (p-2) e^{-p} \quad ... [1] \] が成立する. したがって, [1] を満たす正の解 \(p\) がただ \(1\) つ存在するような \(a\) の値を求めればよい.
[1] の右辺を \(g(p)\) とおく. \[\begin{align} g'(p) & = (3p^2-4p) e^{-p} -(p^3-2p^2) e^{-p} \\ & = -p (p^2-5p+4) e^{-p} \\ & = -p (p-1)(p-4) e^{-p} \end{align}\] したがって, \(g(p)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccccc} p & ( -\infty ) & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 4 & \cdots & ( \infty ) \\ \hline g'(p) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline g(p) & ( -\infty ) & \nearrow & 0 & \searrow & -\frac{1}{e} & \nearrow & \frac{32}{e^4} & \searrow & (0) \end{array} \] なので \(y = g(p)\) のグラフの概形は下のようになる.

これと \(y = a\) がただ \(1\) つ共有点をもつのは \[ a =\underline{\dfrac{32}{e^4}} \] のときである.
このとき, \(y = f(x)\) , 接線, \(y\) 軸が囲む図形は下図斜線部である.

接線の方程式は \[\begin{align} y & = -(4^2 -3 \cdot 4 +1) e^{-4} x +32 e^{-4} \\ & = -\dfrac{5}{e^4} x +\dfrac{32}{e^4} \end{align}\] よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ 0^4 \left\{ -\dfrac{5}{e^4} x +\dfrac{32}{e^4} -(x^2-x) e^{-x} \right\} \, dx \\ & = -\dfrac{5}{e^4} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right] _ 0^4 +\dfrac{32}{e^4} \cdot 4 +\left[ (x^2-x) e^{-x} \right] _ 0^4 -\displaystyle\int _ 0^4 (2x-1) e^{-x} \, dx \\ & = \dfrac{88}{e^4} +\dfrac{12}{e^4} +\left[ (2x-1) e^{-x} \right] _ 0^4 -\displaystyle\int _ 0^4 2 e^{-x} \, dx \\ & = \dfrac{100}{e^4} +\dfrac{7}{e^4} +1 +2 \left[ e^{-x} \right] _ 0^4 \\ & = \underline{\dfrac{109}{e^4} -1} \end{align}\]