\(3\) 人でジャンケンをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ \(\dfrac{1}{3}\) の確率で出すものとする. 負けた人は脱落し, 残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない）, 勝ち残りが \(1\) 人になるまでジャンケンを続ける. このとき各回の試行は独立とする. \(3\) 人でジャンケンを始め, ジャンケンが \(n\) 回目まで続いて \(n\) 回目終了時に \(2\) 人が残っている確率を \(p_n\) , \(3\) 人が残っている確率を \(q_n\) とおく.
(1) \(p_1 , q_1\) を求めよ.
(2) \(p_n , q_n\) がみたす漸化式を導き, \(p_n , q_n\) の一般項を求めよ.
(3) ちょうど \(n\) 回目で \(1\) 人の勝ち残りが決まる確率を求めよ.
【 解 答 】
\(3\) 人でジャンケンをするとき, \(n\) 人（ \(n = 1 , 2\) ）が勝つ確率を \(t(n)\) , あいこになる確率を \(t(0)\) とおく.
\(3\) 人の手の出し方は, \(3^3 = 27\) 通りある.
\(n = 1 , 2\) のときについて, 勝つときの手はグー, チョキ, パーの \(3\) 通り, 勝つ人の選び方が \({} _ {3}\text{C} {} _ {n}\) 通りあるので
\[ \begin{align}
t(1) & = \dfrac{3 \cdot {} _ {3}\text{C} {} _ {1}}{3^3} = \dfrac{1}{3} \ , \\
t(2) & = \dfrac{3 \cdot {} _ {3}\text{C} {} _ {2}}{3^3} = \dfrac{1}{3} \ .
\end{align} \]
あいこになるのは, これら勝敗がつくときの余事象なので
\[
t(0) = 1 -t(1) -t(2) = \dfrac{1}{3} \ .
\]
続いて, \(2\) 人でジャンケンをするとき, 勝敗がつく（ \(1\) 人が勝つ）確率を \(d(1)\) , あいこになる確率を \(d(0)\) とおく.
同様に考えれば
\[ \begin{align}
d(1) & = \dfrac{3 \cdot {} _ {2}\text{C} {} _ {1}}{3^2} = \dfrac{2}{3} \ , \\
d(0) & = 1 -d(1) = \dfrac{1}{3} \ .
\end{align} \]
(1)
\[ \begin{align} p_1 = t(2) = \underline{\dfrac{1}{3}} \ , \\ q_1 = t(0) = \underline{\dfrac{1}{3}} \ . \end{align} \]
(2)
\(n\) 回目終了時に \(3\) 人が残っている事象を P , \(2\) 人が残っている事象を Q , \(1\) 人が残っている事象を R とおくと, ジャンケンによる状態の遷移は下図のようになる.
したがって, \(p_n , q_n\) がみたす漸化式は \[ \begin{align} & \left\{\begin{array}{l} p_{n+1} = d(0) p_n +t(2) q_{n} \\ q_{n+1} = t(0) q_n\end{array}\right. \\ \text{∴} \quad & \underline{\left\{\begin{array}{ll} p_{n+1} = \dfrac{1}{3} p_n +\dfrac{1}{3} q_{n} & \quad ... [1] \\ q_{n+1} = \dfrac{1}{3} q_n & \quad ... [2] \end{array}\right.} \ . \end{align} \] [2] と (1) の結果より, 数列 \(\{ q_n \}\) は, 初項 \(q_1 = \dfrac{1}{3}\) , 公比 \(\dfrac{1}{3}\) の等比数列なので \[ q_n = \underline{\dfrac{1}{3^n}} \ . \] これを [1] に代入すると \[ \begin{align} p_{n+1} = \dfrac{1}{3} p_n & +\dfrac{1}{3^{n+1}} \\ \text{∴} \quad 3^{n+1} p_{n+1} & = 3^n p_n +1 \ . \end{align} \] したがって, 数列 \(\{ 3^n p_n \}\) は, 初項 \(3 p_1 = 1\) , 公差 \(1\) の等差数列なので \[ \begin{align} 3^n p_n & = n \\ \text{∴} \quad p_n & = \underline{\dfrac{n}{3^n}} \ . \end{align} \]
(3)
\(1\) 回目で \(1\) 人が勝ち残るのは \[ t(1) = \dfrac{1}{3} \ . \] \(n\) 回目（ \(n \geqq 2\) ）で \(1\) 人が勝ち残るのは
\(n-1\) 回目終了時点で, \(3\) 人が勝ち残り, \(n\) 回目で \(1\) 人が勝つとき
\(n-1\) 回目終了時点で, \(2\) 人が勝ち残り, \(n\) 回目で \(1\) 人が勝つとき
の \(2\) 通りがあるので, 求める確率は \[ \begin{align} t(1) q_{n-1} +d(1) p_{n-1} & = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3^{n-1}} +\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{n-1}{3^{n-1}} \\ & = \underline{\dfrac{2n-1}{3^n}} \ . \end{align} \] これは \(n=1\) のときも成立している.