\(x \gt 0\) とし, \(f(x) = \log x^{100}\) とおく.
(1) 次の不等式を証明せよ. \[ \dfrac{100}{x+1} \lt f(x+1) -f(x) \lt \dfrac{100}{x} \]
(2) 実数 \(a\) の整数部分（ \(k \leqq a \lt k+1\) となる整数 \(k\) ）を \([a]\) で表す. 整数 \(\left[ f(1) \right] , \left[ f(2) \right] , \cdots , \left[ f(1000) \right]\) のうちで異なるものの個数を求めよ. 必要ならば \(\log 10 = 2.3026\) として計算せよ.
【 解 答 】
(1)
\(g(x) = \dfrac{100}{x}\) とおくと \[ f'(x) = g(x) \quad ... [1] \ . \] 実数 \(t \ ( t \gt 0 )\) について, \(t \lt x \lt t+1\) において \(g(x)\) は単調減少なので \[ g(t+1) \lt g(x) \lt g(t) \ . \] この区間で, 辺々を積分すると, [1] も用いて \[ \begin{align} g(t+1) & \lt \displaystyle\int_{t}^{t+1} g(x) \, dx \lt g(t) \\ \dfrac{100}{t+1} & \lt \left[ f(x) \right]_{t}^{t+1} \lt \dfrac{100}{t} \\ \text{∴} \quad \dfrac{100}{t+1} & \lt f(t+1) -f(t) \lt \dfrac{100}{t} \ . \end{align} \] よって, 題意は示された.
(2)
1* \(1 \leqq n \leqq 99\) のとき
(1) の結果より \[ f(n+1) -f(n) \gt \dfrac{100}{99+1} = 1 \ . \] なので, \(\left[ f(n) \right]\) と \(\left[ f(n+1) \right]\) は必ず異なる整数となる.
したがって, \([f(1)] , \cdots [f(99)]\) のうち, 異なるものの個数は \[ 99 \ \text{個} \ . \]2* \(100 \leqq n \leqq 1000\) のとき
(1) の結果より \[ f(n+1) -f(n) \lt \dfrac{100}{100} = 1 \ . \] なので, \(\left[ f(n) \right]\) と \(\left[ f(n+1) \right]\) は, 等しいか, 差が \(1\) であるか, のいずれかである. \[ \begin{align} [ f(100) ] & = [ 200 \log 10 ] = 460 \ , \\ [ f(1000) ] & = [ 300 \log 10 ] = 690 \ . \end{align} \] なので, \([f(100)] , \cdots , [f(1000)]\) は, \(460\) から \(690\) までの整数を漏れなく取りながら大きくなる.
したがって, 異なるものの個数は \[ 690 -460 +1 = 231 \ \text{個} \ . \]
以上より, 求める個数は \[ 99 +231 = \underline{330} \ \text{個} \ . \]