空間内にある半径 \(1\) の球（内部を含む）を \(B\) とする. 直線 \(\ell\) と \(B\) が交わっており, その交わりは長さ \(\sqrt{3}\) の線分である.
(1) \(B\) の中心と \(\ell\) との距離を求めよ.
(2) \(\ell\) のまわりに \(B\) を \(1\) 回転してできる立体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(B\) の中心を A, \(\ell\) と \(B\) の交わりの両端を P , Q , A から \(\ell\) に下ろした垂線の足をHとおく.
A , P , Q を含む \(B\) の断面 \(C\) を考えれば, H は PQ の中点なので, 求める距離 \(h\) は
\[\begin{align}
h & = \sqrt{\text{AP}^2 -\text{PH}^2} \\
& = \sqrt{1^2 -\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \underline{\dfrac{1}{2}} \ .
\end{align}\]
(2)
\(\ell\) と垂直な \(B\) の断面を考えると, \(\ell\) との距離が最大, または最小である点は, いずれも \(\ell\) と \(A\) を含む断面 \(C\) 上に存在する.
したがって, \(C\) を \(\ell\) のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を求めればよい.
\(\ell\) を \(x\) 軸とし, A \(\left( 0 , \dfrac{1}{2} \right)\) となるように \(xy\) 座標をおくと, \(C\) の式は \[\begin{gather} x^2 +\left( y -\dfrac{1}{2} \right)^2 = 1 \\ \text{∴} \quad y = \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{1 -x^2} \ . \end{gather}\] \(C\) のうち, \(y \geqq \dfrac{1}{2}\) , \(y \lt \dfrac{1}{2}\) の部分の式をそれぞれ \(y _ {+} , y _ {-}\) とおけば \[\begin{align} y _ {+} & = \dfrac{1}{2} + \sqrt{1 -x^2} , \\ y _ {-} & = \dfrac{1}{2} - \sqrt{1 -x^2} \ . \end{align}\] したがって, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^1 {y _ {+}}^2 \, dx -2 \pi \displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 {y _ {-}}^2 \, dx \\ & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^1 \left( \dfrac{5}{4} -x^2 +\sqrt{1 -x^2} \right) \, dx \\ & \qquad -2 \pi \displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \left( \dfrac{5}{4} -x^2 -\sqrt{1 -x^2} \right) \, dx \\ & = 2 \pi \left[ \dfrac{5x}{4} -\dfrac{x^3}{3} \right] _ 0^1 +2 \pi \underline{\displaystyle\int _ 0^1 \sqrt{1 -x^2} \, dx} _ {[1]} \\ & \qquad -2 \pi \left[ \dfrac{5x}{4} +\dfrac{x^3}{3} \right] _ {\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 +2 \pi \underline{\displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1 -x^2} \, dx} _ {[2]} \ . \end{align}\] ここで, [1] は半径 \(1\) の四分円, [2] は下図斜線部の面積を示すので
\[\begin{align} V & = 2 \pi \left( \dfrac{5 \sqrt{3}}{8} -\dfrac{\sqrt{3}}{8} \right) +2 \pi \cdot \dfrac{\pi}{4} \\ & \qquad +2 \pi \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \sqrt{3} \pi +\dfrac{\pi^2}{2} +\dfrac{\pi^2}{6} -\dfrac{\sqrt{3} \pi}{4} \\ & = \underline{\dfrac{2 \pi^2}{3} +\dfrac{3 \sqrt{3} \pi}{4}} \ . \end{align}\]