実数 \(t\) に対して, \(2\) 点 P \(( t , t^2 )\) , Q \(( t+1 , (t+1)^2 )\) を考える. \(t\) が \(-1 \leqq t \leqq 0\) の範囲を動くとき, 線分 PQ が通過してできる図形を図示し, その面積を求めよ.

【 解 答 】

線分 PQ の式は \[\begin{align} y & = \left\{ (t+1)^2 -t^2 \right\} (x-t) +t^2 \\ & = (2t+1) x -t^2 -t \quad ( t \leqq x \leqq t+1 ) \quad ... [1] \ . \end{align}\] 線分 PQ と 直線 \(x = k \ ( -1 \leqq k \leqq 1 )\) の交点は \(\left( k , f(k) \right)\) と表せる.
\(f(k)\) の最大値を \(M(k)\) , 最小値を \(m(k)\) とおけば, \(x = k\) における線分 PQ の通過領域は \[ m(k) \leqq y \leqq M(k) \ . \] と表せる.
[1] を \(t\) の関数とみなして, \(y = f(t)\) とおくと \[\begin{align} f(t) & = -t^2 +(2k-1) t +k \\ & = - \left\{ t -\left( k -\dfrac{1}{2} \right) \right\}^2 +k^2 +\dfrac{1}{4} \quad ( k-1 \leqq t \leqq k ) \quad ... [2] \ . \end{align}\] なので \[\begin{align} f \left( k -\dfrac{1}{2} \right) & = k^2 +\dfrac{1}{4} , \\ f(x) & = f( x-1 ) = k^2 \ . \end{align}\] したがって, \(t\) のとり得る範囲に注意して, \(M(k)\) の候補は \[\begin{gather} f(-1) = -k , \quad f(0) = k , \\ f \left( k -\dfrac{1}{2} \right) = k^2 +\dfrac{1}{4} \\ \left( \text{ただし} \ -1 \leqq k -\dfrac{1}{2} \leqq 0 \ \text{すなわち} \ -\dfrac{1}{2} \leqq k \leqq \dfrac{1}{2} \text{のとき} \right) \ . \end{gather}\] \(m(k)\) の候補は \[\begin{gather} f(-1) = -k , \quad f(0) = k , \\ f(k) = f( k-1 ) = k^2 \ . \end{gather}\] したがって, それぞれの大小を比較すれば, 求める領域は下図斜線部（境界含む）となる.

また, この領域の面積 \(S\) は, 対称性も利用して \[\begin{align} S & = 2 \displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} \left\{\left( x^2 +\dfrac{1}{4} \right) -x^2 \right\} \, dx +2 \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^1 ( x -x^2 ) \, dx \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} +\left[ x^2 -\dfrac{2 x^3}{3} \right] _ {\frac{1}{2}}^1 \\ & = \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{6} \\ & = \underline{\dfrac{5}{12}} \ . \end{align}\]